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1、可测函数空间的完备性学生姓名：张权指导老师：宋儒瑛（太原师范学院数学系14011班山西·太原030012）【内容提要】是定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间,若,引入距离,则为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于某一可测函数，则这样的空间就是完备的。【关键词】可测函数度量空间完备性在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,
2、即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间的完备性做进一步的探讨。一、可测函数空间与度量空间设为上实值的可测函数全体，为Lebesgue测度，若。对任意两个可测函数及，由于。故这是X上的可积函数。令如果把中两个几乎处处相等的函数视为中同一元；那么按上述距离成为度量空间。下面验证一下：⑴在中任取及。≥0显然。若，当且仅当，也是显然的。⑵因为，所以。5⑶注意函数（求导大于0）是单调上升的，那么，任取有从而上的实值Le
3、besgue可测函数有由前面知，上式两边均可积分。则即，。所以，按构成度量空间。二、可测函数空间的完备性⑴定义：Cauchy点列或基本点列：在度量空间中，是中的点列，如果对于任意正数，在自然数，使得当时，必有。则称是中的Cauchy点列或基本点列。如果度量空间中每个柯西点列都收敛，那么称是完备的度量空间。⑵的完备性：设及分别是中的点列和点，则点列收敛于的充要条件是函数列依测度收敛于。证明：充分性：若依测度收敛于，则对任何的，有。对任意给定的正数(不妨设).取5，则，对于这个，由依测度收敛于，存在自然数,使时，。所以，即必要
4、性：若对任何的，由于故，且，由此可知。即依测度收敛于。【结论】可见，可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于，则这样的空间就是完备的。三、一个例子在这个例子中，将用到一个引理：若柯西列内有收敛子序列，则它本身是收敛序列。例：可测函数空间是完备的。证明：设是柯西列，任取，有自然数，使得对每一对，都有。据此，对每一自然数可以找到一个自然数,使它满足条件：⑴．5⑵．由此得，。由Levi定理知级数在上几乎处处收敛。任取它的一个收敛点，那么对充分大的总有。因为当时，有。由于是收敛点，故产生矛盾。于是，对充分大的总有。
5、由此得，收敛。从而便知在几乎处处收敛。这相当于序列的几乎处处收敛。由于几乎处处收敛蕴含依测度收敛，那么是一依的距离收敛的序列。而它是的子列，故是依测度收敛的。从而证明了的完备性。【参考资料】[1]孙永生等《泛函分析讲义》北京师范大学出版社北京1986,5[2]侯友良等《实变函数基础》武汉大学出版社武汉2002,3[3]程其襄等《实变函数与泛函分析基础》高等教育出版社北京2002,1[4]许天周等《应用泛函分析基础》科学出版社北京2003,6TheCompletionofMeasurableFunctionSpaceName
6、ofthestudent,ZhangquanSponsor,Songruying(MathematicsdepartmentofTaiyuanteacher’scollege,class14011Shanxi·Taiyuan030012)5【Abstract】isameasurablefunctionspacewhichdefinedontheandismadeupofthewholemeasurablefunctionofLebesgue.Ifexistsandwebringinto.Wecaninfoisametric
7、space.Inthisthesis,wecangetanimportantconclusion“inthemeasurablefunctionspace,onlyifeachCauchyfunctionsequence,convergesatmeasurablewithmeasurement,thespaceiscomplete.”【Keywords】measurablefunction,metricspace,completion【指导教师意见】本文通过对可测函数中，距离收敛等价于测度收敛；利用这一结论，讨论一个例子，
8、文中结构简明扼要，说理清楚，有一定的基本功。但研究的结果和方法都有待创新。5
