距离空间的可分性与完备性.ppt

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1、在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。第1页第三节距离空间的可分性与完备性•距离空间的可分性有理数在实数集中的稠密性•距离空间的完备性实数的完备性•一般距离空间的完备化机动目录上页下页返回结束在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。第2页已知：在实直线上，存在一个处处稠密的可数子

2、集Q,且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密的可数子集？完备性定理是否总成立？机动目录上页下页返回结束在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。第3页一、距离空间的可分性1.距离空间中的稠密子集定义1（稠密性)设X是距离空间，AX,BX.(1)B在A中稠密,若对于xA,{xn}B,使xnx(n)(2)B在X中处处稠密(或B是X的一个稠密子集),

3、若对于xX,{xn}B,使xnx(n).注:1)B在A中稠密xA,>0,S(x,)内含有B中的点xA,有xB或xB′AB2)B在X中稠密xX,>0,S(x,)内含有B中的点xX,有xB或xB′XBB=X机动目录上页下页返回结束在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。第4页例1有理数集在R中处处稠密.例2Rn中的有理点集在Rn中稠密可数.

4、例3多项式集合P在C[a,b]Lp[a,b]中处处稠密.(魏尔斯特拉斯一致逼近定理:x(t)C[a,b],{pn(t)}P,使pn(t)x(t)(n),即pn(t)按C[a,b]中的距离收敛于x(t).)机动目录上页下页返回结束在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。第5页例4[a,b]上的有界可测函数集合B[a,b]在Lp[a,b](p1)中处处稠密.x(t),x(t)n证:

5、x(t)Lp[a,b],定义函数列x(t)n0,x(t)nxn(t)(n=1,2,…)是[a,b]上的有界可测函数,且有bppx(t)x(t)dtx(t)dtanE(xn)x(t)Lp[a,b]x(t)pL1[a,b]>0,>0,使当E0E=[a,b],m(E0)<时,有px(t)dt(L积分的绝对连续性)E0ppbpnm(E(xn))x(t)dtx(t)dtE(xn)aN,当n>N时,m(E(x>n))<pp(x,x)x(t)x(t)

6、dmx(t)dmnE(xn)nE(xn)xnx(n)B[a,b]在Lp[a,b]中稠密机动目录上页下页返回结束在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。第6页例5[a,b]上的连续函数集合C[a,b]按Lp[a,b]中的距离在Lp[a,b]中处处稠密.证:由上例知B[a,b]在Lp[a,b]中稠密,只要证明按Lp[a,b]中的距离C[a,b]在B[a,b]中稠密即可.x(t)B

7、[a,b],x(t)K.>0,=(/2K)p,y(t)C[a,b]使得m(E(x(t)y(t)))<(由鲁金定理)不妨设y(t)K,E0=E(x(t)y(t))ppppx(t)y(t)dtx(t)y(t)dt(2K)m(E)0[a,b]E0(x,y)<C[a,b]在B[a,b]Lp[a,b]中稠密.机动目录上页下页返回结束在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的

8、时间作出正确的判断。第7页2.距离空间的可分性定义2(可分距离空间)设X是距离空间.X是可分距离空间,若X中存在一个处处稠密且可数的子集.注:1)AX是可分集存在稠密点列{xn}AX是可分距离空间存在稠密点列{xn}X2)X不可分X中没有任何处处稠密的可数子集。例1R是可分的.(有理数集在R中处处稠密、可