专题七距离空间的可分性与完备性投.ppt

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1、距离空间的可分性有理数在实数集中的稠密性专题七距离空间的可分性与完备性距离空间的完备性实数的完备性一般距离空间的完备化已知：在实直线上，存在一个处处稠密的可数子集Q,且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密的可数子集？完备性定理是否总成立？一、距离空间的可分性1.距离空间中的稠密子集定义1（稠密性)设X是距离空间，AX，BX.(1)B在A中稠密,若对于xA,{xn}B,使xnx(n)(2)B在X中处处稠密(或B是X的一个稠密子集),若对于xX,{xn}B,使xnx(n).

2、注:1)B在A中稠密xA,>0,S(x,)内含有B中的点xA,有xB或xB’AB2)B在X中稠密xX,>0,S(x,)内含有B中的点xX,有xB或xB’XBB=X例1有理数集在R中处处稠密例2Rn中的有理点集在Rn中稠密可数例3多项式集合P在C[a,b]LP[a,b]中处处稠密(魏尔斯特拉斯一致逼近定理:x(t)C[a,b,{pn(t)}P,使pn(t)x(t)(n),即pn(t)按C[a,b]中的距离收敛于x(t).例4[a,b]上的有界可测函数集合B[a,b]在Lp[a,b]

3、(p1)中处处稠密.证:x(t)Lp[a,b],做函数列xn(t)(n=1,2,…)是[a,b]上的有界可测函数,且有x(t)Lp[a,b]x(t)pL1[a,b]>0,>0,使当E0E=[a,b],m(E0)<时,有N,当n>N时,m(E(x>n))<xnx(n)B[a,b]在Lp[a,b]中稠密(L积分的绝对连续性)例5[a,b]上的连续函数集合C[a,b]按Lp[a,b]中的距离在Lp[a,b]中处处稠密.证:由上例知B[a,b]在Lp[a,b]中稠密,只要证明按Lp[a,b]中的距离C[a

4、,b]在B[a,b]中稠密即可.x(t)B[a,b],x(t)K.>0,=(/2K)p,y(t)C[a,b]使得m(E(x(t)y(t)))<(由鲁金定理)不妨设y(t)K,E0=E(x(t)y(t))(x,y)<C[a,b]在B[a,b]Lp[a,b]中稠密2.距离空间的可分性定义2(可分距离空间)设X是距离空间.X是可分距离空间,若X中存在一个处处稠密且可数的子集.注:1)AX是可分集存在稠密点列{xn}A2)X不可分X中没有任何处处稠密的可数子集。X是可分距离空间存在稠密点列{xn}

5、X例1R是可分的。(有理数集在R中处处稠密、可数)例3多项式集合P是可分的。（有理系数多项式集合P0在多项式集合P中可数稠密）例2Rn是可分的。(Rn中的有理点集在Rn中稠密可数)例4C[a,b]是可分的。（多项式集合P在C[a,b]中处处稠密,因而有理系数多项式集合P0在PC[a,b]中处处稠密可数）证：1)设x(t)C[a,b],由魏尔斯特拉斯一致逼近定理,>0,p(t)PC[a,b],使(x,p)=max

6、x(t)-p(t)

7、</2多项式集合P在C[a,b]上稠密;有理系数多项式集合P0在多项式集合P中稠密>0,p

8、0(t)P0P,使(p,p0)=max

9、p(t)-p0(t)

10、</2>,p0(t)P0PC[a,b],使(x,p0)=max

11、x(t)-p0(t)

12、max

13、x(t)-p(t)

14、+max

15、p(t)-p0(t)

16、<p0(t)S(x,)P0按C[a,b]中距离在C[a,b]中稠密;而P0C[a,b]是可数集，因而C[a,b]可分的。p0(t)S(x,)P0按Lp[a,b]中距离在Lp[a,b]中稠密;而P0是可数集，因而Lp[a,b]可分的。证设x(t)C[a,b],由上例有>0,有理系数多项式p0(

17、t)P0，使C(x,p0)=max

18、x(t)-p0(t)

19、</(b-a)1/p例5LP[a,b]是可分的.（多项式集合P在C[a,b]LP[a,b]中稠密有理系数多项式集合P0在Lp[a,b]中稠密可数）例6lp(p1)与c都是可分的.（有理点集A={x=(x1,…,xn,0,…)

20、xiQ}在lp(p1)和c中都处处稠密）例7设X是离散距离空间,证明X可分X是可数集证：在离散距离空间中没有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子集只有X自身。故X可分X可数。注：可见并非所有的距离空间都是可分的。注：定义在任何一个势为(即不可数)非空集

21、合上的离散距离空间一定是不可分的。(上例中的A也是不可分的。)2）证明m中没有可数稠密子集(反证法)设m可分A0={x