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《度量空间的完备性及其特殊性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、西南民族大学学报·自然科学版第38卷第2期Mar.2012___________________________________________________________________JournalofSouthwestUniversityforNationalities⋅NaturalScienceEdition文章编号:1003-2843(2012)02-0211-03度量空间的完备性及其特殊性质孙跃娟,刘永利(商丘师范学院数学与信息科学学院,河南商丘476000)摘要:从度量空间、完备度量空间的定义出发,探讨一些特殊度量空间的完备性.揭示出可测函数空间
2、与连续函数空间的关系.关键词:度量空间；完备性;可测函数中图分类号:O177文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1003-2483.2012.02.111引言实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛,这一性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用.而在实数集合中引进元素间的距离而予以推广,就得到度量空间的概念,实数域乃是所谓完备度量空间最简单的例子.在本文中,从度量空间、完备度量空间的定义出发,探讨一些特殊度量空间的完备性.揭示出可测函数空间与连续函数空间的关系.下面先给出一些基本概念.[1]∞定义1在度量空间(A,d)中,{}x
3、是A中的点列,如果对于任意正数ε>0,在自然数N=N(ε),nn=1∞使得当m,n>N时,必有d(x,x)<ε.则称{}x是A中的Cauchy点列或基本点列.mnnn=1[2]定义2如果度量空间(A,d)中每个基本点列都在(A,d)中收敛,那么称(A,d)为完备的度量空间.2主要结果及证明[6]性质1度量空间完备性与其定义的距离有关.[4]例1C[a,b]（闭区间上的连续函数全体）按距离d(x,y)=maxx(t)−y(t).a≤t≤b称为完备的度量空间.[35]−例2C[0,1]（闭区间[0,1]上连续函数全体）按距离1122dxy(,)[(()())]=−∫xt
4、ytdt0不是完备的度量空间.定理1[0,1]上的可测函数空间(M[0,1],d),设M[0,1]为[0,1]上实值的可测函数全体且平方可积,m为lebesgue测度,对任意两个可测函数f(x)及g(x).定义___________________________收稿日期：2012-01-24作者简介：孙跃娟(1981年-),河南汝州人,讲师,研究方向:偏微分方程及其应用.___________________________________________________________________212西南民族大学学报·自然科学版第38卷1122dfxgx(
5、(),())[=−∫(()fxgxdx())].0则可测函数空间按上述距离成为完备的度量空间.证明设{}f是M[0,1]中的柯西点列,有柯西点列的定义,存在正整数m,使得当nmm,≥时,成立nkk11122dff(,)[(()=fxfxdx−())]<,1k=,2,⋅⋅⋅nm∫nmk02取nm≥,且使nn<<⋅⋅⋅6、))]dff(,).∫∫00nnkk++11nnkknk+1nk所以级数∞1∑∫fnn()xfxd−()x0kk+1k=1∞收敛,有级数形式的Levi定理,级数∑fnn()xfx−()在[0,1]上几乎处处收敛.因此,函数列kk+1k=1k−1fxfxnn()=+()∑(fxfxknn()−())(1,2,3,)=⋅⋅⋅.kj11+jj=1在[0,1]上几乎处处收敛于一可测函数f()x.下面证明fM∈[0,1].因为{}f是M[0,1]中的柯西点列,对n于任何正数ε>0,存在正数N,使当nmN,≥时,dff(,)<ε,nm取足够大的k,使nN>,于是当kknN≥≥,
7、时,就有0k00122(()fxfxdx−<())ε.∫0nnk22又因当k→∞时函数列(()fxfx−→−())(()())fxfxa.e.于[0,1],有Fatou定理得到nnkn2(()())fxfx−是lebesgue可积函数,并且有n11222(()fx−fx())dx≤−lim(()fxf())xdx≤ε,∫∫00nnk→∞nk这说明ffM−∈[0,1],且当nN≥时n1122dff(,)[(()())]=−≤fxfxdxε.nn∫0又因fM∈[0,1,]而f=[],fff−+所以fM∈[0,1],因此f→f,这就证明了M[0,1]是完备的度nnnn
