非对称度量空间的完备性问题研究

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1、武汉科技大学硕士学位论文第1页摘要拟度量是满足三角不等式，但不对称的距离函数，它被看作是一个非对称度量。由于逐渐受到国外学者的重视，拟度量(以下称为非对称度量)在非线性系统研究中的重要性已初现端倪。本文主要对非对称度量空问进行一些创新的基础研究，主要包括如下凡方面的内容：1．非对称度量空间的基础理论。首先对非对称度量空间已有基本结果进行了简要系统的汇总及适当改进，在此基础上提出了非对称积度量的概念，并对其性质作了初步讨论。2．非对称度量空间的完备性问题。所做的工作有：给出了上完备非对称度量空间的若干例子；讨论了非对称度量空间上左K．利普希茨函数的相关性质，定义了所有在同一点函数值为0的左K

2、-利普希茨函数集上的非对称度量，并证明了此非对称度量空间的上完备性；得到了非对称度量空间中的左闭球套定理和右闭球套定理，并分别证明了其与非对称度量空间的上完备性和下完备性的等价性；提出了上收缩映射、下收缩映射、左不动点和右不动点的概念，并分别获得了上完备非对称度量空间上的左不动点定理，以及下完备非对称度量空间上的右不动点定理。3．拟一致空问中的最优化问题。所做的工作有：证明了拟一致空间是瓦空间当且仅当其拟一致结构中所有环境的交是反对称关系；利用ro拟一致结构中所有环境的交是一个偏序关系，给出了瓦拟一致空间中各种极值的定义及其性质；将最优化问题建立在矗拟一致空间上，获得了最优化问题的一般形式

3、，并证明了ro拟一致空间上最优化问题有效解的存在性。关键词：非对称度量空间；上完备性；ro拟一致空间；最优化问题第1I页武汉科技大擎硕士学位论文AbstractAquasi—metricisadistancefunctionwhichsatisfiesthetriangleinequalitybutisnotsymmetric：itCanbethouglftofasanasymmetricmetric．Sinceithasbeendrawningtheattentionsofmoreandmoreforeignresearchers，itsimportanceinthenonlinears

4、ystemfieldhasbeenseenrecently．Thispapermainlyincludesthefollowingthreeaspects：1．Basictheoryaboutquasi·metricspaces．Firstthemainresultsaboutquasi-metricspacesobtainedbyothersaregatheredandmodified．Basedonthose，thenotionofquasi-metricproductspaceisputforward，andsomepropertiesarediscussed．2．Completen

5、essofquasi-metricspaces．Firstly,severalexamplesaboutuppercompletenessquasi-metricspacesareobtained．Secondly,aquasi·metricisputforward，whichisdefinedonthesetofallleftK-Lipschitzfunctionsonaquasi·metricspacethatvanishatsome夙edpoint-andtheuppercompletenessofthequasi·metricisproved．Thirdly,theleftandr

6、ightclosedballtheoremsinquasi-metricspacesaregiven,andtheequivalencebetweentheleft(ringt)closedballtheoremsandtheupper(10wer)completenessofquasi-metricspacesareproved．Finally,thenotionofupperandlowercontractionofmappingbetweenquasi-metricspacesisputforward,andtwofixedpointtheoremsinquasi-metricspa

7、cesareobtained．3．Optimizationprobleminquasi-uniformspaces．Firstly,itisprovedbytheauthorthataquasi-uniformspaceisToifandonlyiftheintersectionofallentouragesofthequasi-unifo眦姆isantisymmetricrelation．Secondly,basedo