非对称度量空间的完备性问题分析

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1、武汉科技大学硕士学位论文第1页第一章绪论§1．1引言随着科学技术的发展，人们在许多领域的研究从线性问题过渡到非线性问题，从单值问题过渡到多值问题，特别是在自动控制，人工智能等领域显得尤为突出。在研究工作中人们不断发现，用于衡量两个不同事物的相近程度的量并不总是满足对称性的，于是人们便开始接受这种非对称度量。非对称度量(Quasi．metric)，是不确保对称性的一种广义度量。经典的集合x上度量或距离的定义是：二元的实值函数p：x×xj四，满足三条公理：v工，弘=∈X(1)正定性：p似力20，并且p(x，)，)=0当且仅当，=Y；(2)对称性：p阮)，)=p似力；(3)三角不等

2、式：p(x，Y)≤p(x，z)+p(z，Y)非对称度量并不要求满足对称性，也就是说从X点到Y点的距离不一定等于从Y点到x点的距离，与此同时非对称度量的正定性条件改为：(4)p(x，力≥0，并且p(x，Y)=p(y，X)=0当且仅当x=Y。即只有当从工点到Y点的距离与从Y点到X点的距离均等于零时，X与Y是同一点。显然度量空间是一类特殊的非对称度量空问。非对称度量空间是拓扑空间，非对称度量诱导的是L拓扑，即非对称度量空间中任何不相同的两点，其中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点。而对称度量诱导的是瓦拓扑。因此，非对称度量空间是介于一般拓扑空间与度量空间之间的一类拓扑空间。假设(

3、x，d)是一个非对称度量空间，其中函数d：X×X一四是满足(3)、(4)的非对称度量，若函数d。：X×X寸四，定义为：d一1(x，Y)=a(y，，)，Vx，Y∈X则d。也是一个非对称度量，而d‘(x，y)=max{d(x，力，d-1(x，y)}是一个对称的度量。于是，一个非对称度量空间始终伴随着一个对偶非对称度量空问(x，d。)和一个度量空间(x，d’)。非对称度量空『自J确定了一个偏序关系：X毛Y铮a(x，y)=0这个偏序关系是非对称度量空『日J特有的，它在后面研究中起着重要的作用。在现实生活中是否存在非对称度量空『日J?在这罩举出一个极为简单的例子：一个汽车在LIJ坡上行

4、驶，以汽车的耗油量为“J坡上两点的“距离”，由于同样的两个地，_，}：坡与下坡的“距离”是小n日的，所以该“距离”是。个‘作对称度量。甚至F坡的第2页’武汉科技大学硕士学位论文“距离”可以为零，此时由非对称度量空间所确定的偏序关系就是上下坡关系。§1．2国内外文献综述非对称度量的研究，起源于20世纪初Hausdorff[11讨论集合间的度量(现在被称为I-lausdorff度量)时所考虑到的非对称距离函数形式。随后，Niemytzki在研究度量空间一般公理化各种假设的相互影响时也涉及到了非对称距离函数。1982年，P．Fletcher和W．ELindgrenl2J出版了《Qu

5、asi-UnifoITIISpaees：}一书，此后非对称度量空间便引起一些学者的兴趣。1993年，南非学者H．P．A．Kfinzil31对非对称拓扑进行理论研究，发表了Nonsymmetrictopology一文，在非对称度量空间的理论基础研究上取得一些成果。1995年，爱尔兰学者M．p．Schellekensla]将非对称度量空间应用于理论计算机科学，使得非对称度量空间的研究变得具有应用价值。国内外的研究主要分为：非对称度量空间的基础理论、算法的复杂性分析、不对称泛函分析以及非对称度量空间在其它领域中的应用这四个方面的研究：1)非对称度量空间的基础理论非对称度量空间的基础

6、理论主要研究它的一些拓扑性质及其完备性和完备化问题等。一个非对称度量空间是否具有完备性或者是否可以完备化这对于非对称度量空间自身的理论及其实际应用是十分关键的，它关系到序列的极限是否在该空间内。由于非对称度量的不对称性，一般意义下的柯西序列分成了三种形式，向前柯西序列或左尽柯西序列，向后柯西序列或右尽柯西序列以及双向柯西序列[51。对于非对称度量空间(x，d)，非对称度量d所诱导的拓扑罗’(d)满足乃分离性公理。因此，序列具有依拓扑罗。(d)的收敛性。S．Romaguera[6荆用左列可西序列在拓扑空间(墨岁。(d))中有极限，定义了左尽完备性。非对称度量空间是介于一般拓扑空

7、间与度量空间之间的一类拓扑空间。每一个非对称度量空间始终伴随着一个对偶非对称度量空间和一个度量空间。M．P．Schellekens／rl，运用左尽柯西序列在(x，J)所诱导的度量空间中的收敛性，定义了Smyth完备性。虽然非对称度量空间(置d)中序列具有依拓扑矿p)的收敛性，但是并不能保证其极限的唯一性。为弥补这一缺陷，H．P．Kflnzi和M．P．Schellekens[sl提出了序列的另～种极限概念：在非对称度量空间(x，d)中，元素x∈J称为序列{‘}cx的极限，若满足d(x，y)=i西supd(