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1、第20卷第2期山东科技大学学报(自然科学版)Vol.2022001年6月JournalofShandongUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience)Jun.2001文章编号:1000-2308(2001)02-0012-03一类度量空间及其完备性的证明122刘杨,刘晓军,赵明清(1.山东大学数学院,济南250100;2.山东科技大学金融工程研究所,泰安271019)摘要:构造了一类函数集合的度量空间,给出其上面的一些性质,证明了此空间是一完备度量空间。关键词:度量空间;完备性;集
2、合函数中图分类号:O177文献标识码:AAKindofMeasuringSpaceandItsCompleteness122LIUYang,LIUXiaojun,ZHAOMingqing(1.CouegeofMath.,ShandongUniv.,Jinan250100,China;2.ResInst.ofFinancialEngg,SUST,Taian271019,China)Abstract:Inthispaper,weintroducedakindofmeasuringspace,gavesomeofitsproper
3、tiesandprovedthatitsspaceisacompletemeasuringspace.Keywords:measuringspace;completeness;setfunction在控制理论中,经常要在一系列容许控制中1下面证明(,d满足距离的性质,从而2找到合适的控制。比如最优控制理论中,最优控可以定义(F,d)为距离空间。制的存在性的证明常常要在一系列经过一定选择1的控制集合中找其某个子列的极限。如果能够在定理1(,d(f(),g())满足距离的三2此集合上构造距离,并证明此集合在此距离下完性质:备
4、的,则最优控制的存在性可以得证。在能控性(1)d(f,g)(0,d(f,g)=0!f=g理论当中也有这样的构造,本文构造的距离空间(2)d(f,g)=d(f,g)可以在最大值原理的证明中起作用。(3)d(f,g)+d(g,h)(d(f,h)1主要结果证明:(1)和(2)由d的定义易证,(见[2])。其中这里我们称f=g,如果F={f()
5、(D(f))
6、t∃D(f)%D(g),1测函数,D(f)为R上的可测集},其中D(f)为f(t)&g(t)}=0。易知这是一个等
7、价关系,故可f()的定义域,为Lebegue测度。以这样指定。下面证明(3),为方便起见,先给出定义1设F如上所述,定义带参数的二元函一些简化标记:数d:F∀F#R为:A1D(f)-(D(g)∋D(h)),B1(D(g)%d(f(),g())=(D(f)D(g))+{t
8、t∃==D(h))-D(f)D(f)%D(g),f(t)&g(t)},这里AB(A%=A2D(g)-(D(f)∋D(h)),B2(D(f)%1==ccB)∋(B%A),记法见[1],且(。2D(h))-D(g)收稿日期:2000-12-06基金项目:山
9、东省自然科学基金资助项目(Q99A13)作者简介:刘杨(1974-),男,山东沂水人,在读博士生,主要从事随机控制的研究。第2期刘杨等:一类度量空间及其完备性的证明13A3D(h)-(D(f)∋D(g)),B3(D(f)%#fi的定义域为D(#fi)。==i∃Ii∃ID(g))-D(h)注:由于在定义2.2中我们将#fi的定义域i∃IC=D(f)%D(g)%D(h),ai=(Ai),bi=取为D(#fi),而由定义2.1知道在D(#fi)上i∃Ii∃I(Bi),c=(C),fi(t)取值相同,
10、所以定义#fi为(#fi)(t)fii∃Ii∃I=则有:(t),i∃I是可行的。为了将D(#fi)=!的i∃Id(f,g)=(a1+a2+b1+b3)+({f&g}%情况也包括进去,我们在F中加入定义域为空集B3)+({f&g}%C)的函数f!,即令D(f!)=!,这样当D(#fi)=!i∃Id(g,h)=(a2+a3+b2+b3)+({g&h}%时,就令#fi=f!,并且令d(f(),f!)=(Di∃IB1)+({g&h}%C)(f)),f∃F,易知距离三性质依然成立,而且后d(f,h)=(a1+a3+b1+
11、b3)+({f&h}%面的证明都可以将此情况包括进去而仍成立。此B2)+({f&h}%C)外为方便起见,常将#(fi),#(fi)分别记为i∃Ii=1,2,3d(f,g)+
