实数完备性定理的证明及其应用

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1、实数完备性定理的证明及其应用摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们对实数集完备性的基本特征有进一步的认识和理解.关键词：完备性；区间套；连续性CompletenessofthesystemofrealnumbersandapplicationsAbstract:Completenessofthesetofrealnumbers

2、isitsbasiccharacter,anditisstablebackgroundofcalculus.Itcanbedescribedanddepictedindifferentanles,sothereareconsiderablefundamentaltheoremsaboutit.Itcontainssixbasictheorems.Thattheessayusesthreedifferentwaysindividuallytoprovetheequivalenceofthesixprincipletheoremsissystematicdi

3、scussionaboutit,andmakesusacquiremorerecongnitionandunderstanding.KeyWords:Completeness;Interval;Continuity引言众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性、可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有关，如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如，单调有界的有理数列就不存在极限，因为它的极限是，是

4、无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重要特征.因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础，他在整个数学分析中占据着重要位置.1.实数完备性定理的定义1.1确界原理设为非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必下确界.1.2单调有界定理在实数系中，有界的单调数列必有极限.1.3区间套定理设为一区间套：1.2.，则在实数系中存在唯一的一点即.1.4有限覆盖定理设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一个点都含于中至少一个开区间内，则在中必存在有限个开区间来覆盖.1.5

5、聚点定理和致密性定理（聚点定理）直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）.（致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1.6柯西收敛准则数列收敛的充要条件是：，只要，恒有，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.2.实数完备性定理的证明定理1（确界原理）设为非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必下确界.证明我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下界的数集必有下确界可类似证明.为叙述的方便起见，不妨设含有非负数.由于有上界，故可找到非负整数

6、，使得（1）对于任何有；（2）存在，使.对半开区间作10等分，分点为，则存在中的一个数，使得（1）对于任何有；（2）存在，使得.再对半开区间作10等分，则存在中的一个数，使得（1）对于任何有；（2）存在，使.继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的一个数，使得（1）对于任何有………(1)；（2）存在，使.将上述步骤无限地进行下去，得到实数，以下证明，为此只需证明：（i）对一切有；（ii）对任何，存在，使.倘若结论（i）不成立，即存在使，则可找到的为不足近似，使，从而得，与不等式（1）矛盾，于是（i）得证.现设，则存在使的位不足近

7、似，即.根据数的构造，存在使，从而有，即得到，说明（ii）成立.定理2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.证明不妨设为有上界的递增数列，由确切原理，数列有上确界，记，下面证明就是的极限，事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得，又由的递增性，当时有，另外，由于是的一个上界，故对一切都有，所以当时有，这就证得，同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限极为它的下确界.定理3（区间套定理）设为一区间套：1.2.，则在实数系中存在唯一的一点即（2）证明由于，则知为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有（3）同理，递减有界数列也有

8、极限，并按区间套的条件2.有（4）且（5）联合（3）、（5）即得（2）式，最后证