实数完备性定理证明和应用

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1、实数完备性定理的证明及应用学生姓名：XXX学号：20085031072数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：XXX职称：副教授摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，他是微积分学的坚实的理论基础，从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，六个完备性定理是对实数完备性基本定理等价性的系统论述，让我们获得对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.关键词：完备性；基本定理；等价性TestificationandapplicationaboutRealNumber

2、CompletenessAbstract:Completenessofthesetofreelnumbersisitsbasiccharacter,anditisstabletheorybackgroundofcalculus.Itcanbedescribedanddepictedindifferentangles,Toprovetheequivalenceofthesixprincipletheoremissystematicdiscussionaboutitandmakeusacquiremorerecogniti

3、onandunderstanding.Atthesametime,thetheoremofcompletenessofrealnumberstestpfyiestheseveralqualitiesofthecontinuousfunctioninclosedinterval.KeyWords:sigmacompleteness;fundamentaltheorem;equivalence引言在数学分析学习中，我们知道，实数完备性定理是极限的理论基础，是数学分析理论的基石，对实数完备性表达通常有六个定理.在此，我们以实

4、数连续性为公理，顺序证明其余六个基本定理，最后达到循环，从而证明等价性，并用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的若干性质.1.基本定义⑴定义I设s是中的一个数集.若数〃满足：⑴对一切xeS,WXa,即〃又是S的最小上界，则称数7；为数集S的上确界，记作〃二supS・定义2设S是/?屮的一个数集.若纟满足：（1）对一切xgS,有兀即§是S的下界；（2）对任何0〉§,存在xe5，使得无<§,即§又是S的最大下界，则称数g为数集S的下确界，记作g=infS・定义

5、3设闭区间列｛［色,仇］｝具有如下性质：（1）［陽+M+J,斤=1,2,；（2）lim@“一％）=0,则称｛［心仇］｝为闭区间套，或简称区间套.定义4⑵设S为数轴上的点集，歹定点（它可以属于S,也可以不屈于S）.若§的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称§为点集S的一个聚点.其等价定义：对于点集S,若点§的任何F邻域内都含有S屮异于歹的点，即U（^,6'）SH0，则称g为S的一个聚点.定义5设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的一个元素都是形如（久0）的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为

6、S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限（有限）开覆盖.1.六个定理及证明定理1维尔斯特拉斯聚点定理（Weierstrass聚点定理）直线上的有界无限点集S至少有一个聚点.定理2柯西收敛准则（又叫实数完备性定理）数列｛色｝收敛的充要条件是：对任给的正数£，总存在某一个自然数"，定理3确界原理有上（下）界的数集必有上（下）确界.定理4单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限.定理5区间套定理若｛［。”‘乞］｝是一列闭区间，（比=1,2,）,又设⑴［第丿订二［色+1，亿+J，5

7、=1,2,）；（2）lim（/?n-^）=O,"TOO则存在唯一的0=1,2,）・定理6有限覆盖定理（也叫海涅•波莱尔定理）设［⑦列是闭区间，H为［⑦切的一个开覆盖，则在H中必存在有限个开区间,它构成国列的开覆盖.3・六个定理等价的证明以上定理，虽然表述各异，其实质都是描述实数集完备性的定理，下面将以循环证明方式，证明其等价性.维尔斯特拉斯聚点定理n柯西收敛准则n确界原理n单调有界定理n区间套定理=>有限覆盖定理=>维尔斯特拉斯聚点定理.3.1维尔斯特拉斯聚点定理d柯西收敛准则证明若对▽£>0,3N>0,当n^nW时,

8、atl-am0,当n>N、时，有卜“-伽<1,则alt<14-aN［・令则对Vn,都有

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12、}'（1）若｛色｝看作点集，是一个有限点集，至少有一项①重复出现无穷多次,就以q•为项构成子列，贝叫亦是常数列，必收敛.记贝IJ臥一歹15