第五节 度量空间的完备化

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1、第五节度量空间的完备化；第六节压缩映射原理及其应用（2学时）一．教学要求1．了解完备化定理，能够证明度量空间的完备性；2．掌握压缩映射原理，并了解它在分析和方程研究中的应用。二．教学重点掌握压缩映射原理及其应用。三．教学过程1．度量空间的完备化我们知道直线上有理数集Q作为R的子空间不是完备的，当在Q中加上“无理数”，它就成为完备的度量空间R，并且Q在R中稠密。下面我们要考虑：是否每一个不完备的度量空间都可以“扩大”，使其成为一个完备的度量空间的稠密子空间呢？首先介绍几个概念：定义：设是两个度量空间，如果存在到上的保距映射，则称

2、和等距同构，此时成为到上的等距同构映射。在泛函分析中，往往把两个等距同构的度量空间视为同一的。定理（度量空间的完备化定理）设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即：若也是一完备的度量空间，且与的某个稠密子空间等距同构，则与等距同构。如果把两个等距同构的度量空间视为同一，的上述定理可以阐述为：定理：设是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间，使得为的稠密子空间。（事实上，做到自身的恒等映射，即为一等距同构）例：证明与的一个子空间等距同构。证明：是有界数列的全体，令，是

3、定义在上连续函数全体对于，有：对于，有：取子空间：如下：；其余为折线（线性函数）。则。做映射：则有：则得证。第六节压缩映射原理及其应用定义：设是到中的映射，如果存在一个数，使得对所有的，成立：（1）则称是压缩映射。压缩映射的几何意义是：原象两点经过映射后，他们象的距离缩短了。定理（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么有且只有一个不动点（即：方程有且只有一个解）。例如：定义在之间的连续压缩映射，如图：101证明：设是中任意一点。令。我们证明点列是中的柯西点列。事实上，（2）由三点不等式，当时，因为，所以，于是得

4、到：（3）所以当时，。即为柯西点列。由的完备性，则存在，使，又由三点式和条件（1），有：则当时，上式趋于0，所以，即。下证唯一性。如果有，使，则由条件（1），有：因为，所以只有。下面介绍定理的应用：定理：设函数在带状域：中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果还存在常数和，满足则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：证明：见书，略。定理：设是矩形：上的二元连续函数，设，又在上关于满足条件，即存在常数，使对任意的，有，那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解，其中。证明：略。例：设为完备度量空间，是到中映射，记若，则映射有

5、唯一不动点。证明：因为，所以存在，使。所以由压缩映射原理，存在，使，且是唯一的。又由唯一性知，，且是唯一的。