浅谈度量空间.doc

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1、分院名称：生学号长春师范学院本科毕业论文题目：专业：姓名：指导教师姓名：指导教师职称：2010年月论文作者签名：日期：年月日长春师范学院本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成。如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任。指导教师签名：日期：年月日目录承诺保证书………………………………………………………………………………I1度量空间的定义……………………………………………………………………12度量空间的一些例子………………………………………………………

2、………23度量空间的一些简单性质…………………………………………………………54度量空间的紧致性与完备性………………………………………………………84.1度量空间的紧致性…………………………………………………………………94.2度量空间的完备性………………………………………………………………10参考文献…………………………………………………………………………………13英文摘要…………………………………………………………………………………14浅谈度量空间吴丹摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程.因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给

3、出度量空间的一些重要性质.并且引入一些度量空间的其它性质.关键词:度量空间导集闭集度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1度量空间的定义度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1设是一个集合，若对于中任意两个元素都有

4、唯一确定的实数与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：(1)正定性,并且当且仅当；(2)对称性；(3)三角不等式.则称是集合的一个度量，同时将称为度量空间或距离空间.中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2设是一个度量空间，.对于任意给定的实数,集合，记作,称为一个以为中心，以为半径的球形邻域，简称为的一个球形邻域.2度量空间的一些例子例2.1离散的度量空间设是任意的非空集合，对中的任意两点，令容易验证满足关于距离的定义中的条件.我们称为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.例2.2序列空间S令S表示实数列（或复数列

5、）的全体，对S中任意两点及，令，易知满足距离条件的充要条件为.(2.1)下验证满足距离条件对任意都成立.(2.2)为此我们首先证明对任意两个复数和，成立不等式事实上，考察上的函数由于在上，.所以在上单调增加，由不等式，我们得到.令，则，代入上面不等式，得.由此立即可知满足距离条件(2.2)，即S按或一度量空.间.例2.3有界函数空间设是一给定的集合，令表示上的有界实值（或复值）函数全体，对中任意两点，定义.下面验证满足条件(2.1)和(2.2).显然是非负的.又等价于对一切，成立，所以，即满足(2.1)，此外，对所有的成立.所以.即满足条件(2.2).特别地，当时，

6、记为.例2.4可测函数空间设为上的实值（或复值）的可测函数全体,m为测度，若，对任意两个可测函数及，由于所以这是上的可积函数，令如果把中的两个几乎处处相等的函数视为中的同一个元，那么利用不等式及积分性质很容易验证是距离.因此按上述距离成为度量间.例2.5空间令表示闭区间上的实值（或复值）连续函数全体，对中任意两点定义容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).例2.6记.设定义.则是的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2).对任何正整数n，和都中的元素，由不等式再令右端，即得再令左端的，即得由此可得令取以代入上式，即可得的三点不等式由上述例子可

7、见，度量空间除了有限维的欧几里德空间之外，还包括其他的空间.3度量空间的一些简单性质定理3.1设是一个度量空间，则拓扑空间是一个离散空间当且仅当p是一个离散的度量.证充分性若是一个离散的度量，则对于任意的，存在实数，使得对于任意的,,有.于是的球形邻域,所以，为开集.由的任意性以及开集的性质，故为离散空间.必要性若为离散空间，则对于任意的,单点集为开集，于是存在的球形邻域,令，则对于任意的并且,有.所以,为离散的度量.定理3.2度量空间的每一个子集的导集都是闭集.证设为一个度量空间，是的任意一个子集.欲证的导集为闭集，只需证.如果,显然.如果,由于,所以对于任意