度量空间,n维欧氏空间.ppt

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1、第二章点集第二章点集简介§1.度量空间，n维欧氏空间§2.聚点，内点，界点§3.开集，闭集，完备集§4.直线上的开集，闭集，完备集的构造引言第一章叙述了集合的概念及其运算，那里的集合只提到其中的元素，以及元素的个数（有限，可数无限，不可数无限等等），没有涉及集合各个元素之间的着某种关系，距离”、“实数之间可以引进四则运算”等。都是集合内部的一种结构。所谓空间:是一类具有某种结构的集合。本章将研究一种特殊的集合--空间中的点集例如：实直线R构成一维空间、“任意两点间有是其中的结构。本章着重研究n维欧氏空间。§1.度量空间

2、，n维欧氏空间都有唯一确定的实数且满足12称为x与y的距离。两点间距离定义条件结论设x是任意一个非空集合，唯一确定的实数d(x,y)与之对应且满足2（三点不等式）都有1（非负性）称d(x,y)是x,y之间距离。称(X,d)为度量空间（或距离空间）度量空间定义条件结论X间，称为(X,d)的子空间。设X是度量空间，则X中度量d具有对称性定义：如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个非空子集，则(Y,d)也构成一个度量空事实上，在定义1中，令z=x，再由1）有d(x,y)≤d(x,x)+d(y,x)=d(y,x)由x,y次序是

3、任意的,知d(y,x)≤d(x,y)所以,d(y,x)=d(x,y).设X是度量空间，则X中度量d具有对称性已知：(X,d)是度量空间,求证：由1)可知，证明：在三点不等式中,取有由于x和y的次序是任意的，同理可证,即下面我们举一些度量空间的例子。欧氏空间规定距离例1对中任意两点2由柯西不等式得到证明：由度量空间定义可知1显然成立。______代入上式两边开方得令=d(x,z)+d(y,z)所以，即是度量空间。距离的另两种表示法称为n维欧氏空间.d称为欧几里得距离。12邻域及其基本性质1邻域定义：的点的全体，即集合中所

4、有和定点之距离小于定数称为点的邻域。记作称为邻域的中心，称为邻域的半径。其中2邻域的基本性质：显然成立。（1）和存在∪3(p),使得对于（2）取则使证明：设对于存在证明：则U(Q)=U(Q,δ1)（3）因为Q∈取δ1:0<δ1<δ∈d(P,Q)∩U(P)PδQQδ1使由有取证毕。（4）时，和当存在证明：则PQPQδδ中几个基本概念定义：记为或1收敛为中一点列，设如果当时有则称点列收敛于有邻域语言使有的任意邻域对于语言一个非空点集E的直径定义为2点集间距离定义：两个非空点集A,B的距离为3点集间直径定义：ABd(A,B)

5、δ(E)E例如则设E为中一点集,E有界,4有界集下面三个说法等价EKXY=（1）开区间定义：称为一个(n维)开区间。称为一个(n)维闭区间(或左开右闭区间)。（2）闭区间定义：5区间点集点集称为区间I的第i个“边长”。称为区间I的“体积”。记作（3）区间的定义：区间的“边长”：区间的“体积”：开区间,闭区间统称为区间。记作.在R1,R2,R3中,

6、I

7、分别表为区间长度，矩形面积，立体体积则d是例2记设定义上的距离。2对固定的n,和都是证明：1显然成立。中元素，故对固定的n，有柯西不等式不等式右端，再令左端即得得，令令代

8、入上式两边开方所以即是度量空间。