7(1)n维欧氏空间中某些概念

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1、第七章多元函数微分学zzf(x,y)MyOyxDPx1第一节n维欧氏空间中某些概念N维欧氏空间邻域内点，外点，边界点，聚点开集，闭集，区域小结思考题作业2第八章多元函数微分法及其应用一、N维欧氏空间1.平面点集n维空间1一元函数R2平面点集Rnn维空间R(1)平面点集建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x,y)的全体,即2RRR{(x,y)x,yR}坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E{(x,y)(x,y)具有性质P}.3(2)n维空间n元有序数组(x1,x2,,xn)的全体n称为n维空间.记作R;即nRRRR{

2、(x1,x2,xn)xiR,i1,2,}.n维空间中的每一个元素(x1,x2,,xn)称为空间中的一个点,数x称为该点的第k个坐标.k下面在Rn中引进代数运算及内积和范数。4n定义１.设xxx(,xyyy,,),(,yR,,),1212nn定义(１)相等xyxyin,1,2,.ii(２)和xyxyx(y,x,,y)1122nn(３)数乘xxxx(,R,,),12.n(４)差xyx1y(x1yx1,2y2,,xnny)5(５)零向量或原点:0(0,0,,0).n(６)内积(或点积):xy,xyxyi

3、ii1n(７)范数(或模):xxxx2ii1范数xy称为xy与之间的距离或度量.6范数满足下列基本性质.n定理１.设xy,,R则有10,=0xxx0.且2,.xxR3xyyx4,xyxy柯西-施瓦兹不等式5xyxy三角不等式7n在R中选取一组单位向量ee11,0,,0,,0,0,,1nn称为R中的单位坐标向量(或一组基).n则对xxx(,xR,,),12n有xxexexe,,1122nn82R二、邻域(Neighborhood)设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,0,令22

4、U(P,){(x,y)(xx)(yy)}000称之为点P0的邻域,有时简记为U(P0).y几何表示：.P0注Ox①将邻域去掉中心,称之为去心邻域.U(P,)0②也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)的全体点称之为点P0邻域.9n设PR,则0nUP(,){PRPP}00称为P0点的邻域.10三、内点,外点,边界点,聚点(1)内点设E为一平面点集,点PE,若存在0使,UP(,)E,称P为E的内点.(P)1P显然,E的内点属于E.3P01内点的全体称为E的内部,记为:EE(2)外点如果存在点P的某个邻域U(P),P2使U(P)

5、∩E=,则称P为E的外点.(P2)P4(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.(P3)E的边界点的全体称为E的边界,记作E.孤立点也是边界点.()P411聚点如果对于任意给定的0,点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点(P本身可属于E,也可不属于E),则称P是E的聚点.聚点的全体称为导集,记为:EE或例如,设点集22Exy{(,)1xy2}(6,6)222点P(x,y)R,若1xy2,则P为E的内点;00002222若x0y01或x0y02,则P为E的边界点,也是E的聚点.但是点(6,6)为E

6、的边界点,不是E的聚点.E的边界E为集合2222{(,)xyxy1}{(,)xyxy2}(6,6).12四、开集,闭集,区域开集若E的任意一点都是内点,称E为开集.即,EE闭集若E的余集为开集,则称E为闭集.或,若EE,则称E为闭集.例判断下列集合哪些为开集,闭集22(1){(,)1Exyx4}y122(2){(,)E21}xyx(0,2)y(3)E{(,)xyx0,y0}313平面区域(重要)设D是开集.如对D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D,称开集D是连通的.连通的开集称区域或开区域.22如{(x,y)1

7、xy4},{(x,y)xy0}都是区域.yxy0xy0Ox14开区域连同其边界,称为闭区域.22如{(x,y)1xy4},{(x,y)xy0}都是闭区域.有界区域总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当大的圆内的区域,称此区域为有界区域.否则称为无界区域(可伸展到无限远处的区域).15yyOxOx有界开区域有界闭区域yyOxOx有界半开半闭区域无界闭区域16五、小结N维欧氏空间内点,边界点,聚点,开集,连通,区域17作业习题７.1(４６页)(A)4.(2)18