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1、§1.1正交坐标系的转动§1.2物理量在空间转动变换下的分类§1.3物理量在空间反演变换下的进一步分类§1.4张量代数§1.5张量分析第一章三维欧氏空间中的张量§1.1正交坐标系的转动方向矢量(基矢)记为,满足如：直角坐标系;球坐标系;柱坐标系直角坐标系1.1.1坐标系正交曲线坐标系右旋系右旋直角坐标系:左旋直角坐标系:左旋系讨论绕原点的坐标系转动。考虑右旋直角坐标系1.1.2转动变换矩阵有转动前坐标系为，基矢为转动后坐标系为，基矢为则基矢的变换(1.2)一对重复指标(哑指标)表示对从1到3求和利用Einstein求和约定
2、,有(1.1)写成矩阵表示形式(1.3)(1.3)可写为记(1.4)坐标的变换考虑空间P点,在S系中坐标为位矢在系中坐标为，位矢为用点乘，有得即转动后坐标满足可写成(1.5)(1.6)因为转动前后位矢相等，故有及1.1.3变换矩阵的特性OP的间距为因为间距与坐标系转动无关，故故有写成矩阵形式,有:3*3单位矩阵三维转动变换系数矩阵a是正交矩阵(1.7)(1.8)将(1.5)式代入得因而其分量形式为又由(1.8)式有(1.9)(1.10)转置有对(1.4)式上式右乘a可得其分量形式(1.11)(1.14)正交关系(1.7)式
3、写成(1.15)(1.12)对(1.5)和(1.13)式两边微商后可将写成对坐标变换成立，即即(1.13)§1.2物理量在空间转动变换下的分类(三维空间的)场：物理量是空间坐标的函数(2.1)标量场:一个量且空间转动变换下不变,即满足坐标一样变换,即(2.2)记为矢量场:三个量在空间转动变换下像:第i个分量列矢形式,行矢:坐标表示(两个坐标分量乘积的变换为)像两个坐标分量的乘积一样变换即(2.3)二阶张量:九个量且在空间转动变换下记为:第个分量3*3矩阵表示补充:坐标表示类似地,个量在转动变换下像n个坐标分量的乘积变换即称
4、为n阶张量(2.4)是第个分量标量是零阶张量,矢量为一阶张量四维空间：n阶张量:个分量例2.1试证是三维矢量证明:例2.2试证是三维欧氏空间中的二阶张量张量的判断由即得三维矢量证明:由可得由于基矢正交性,得有若张量满足(2.5)则分别称张量T相当于指标是对称的和反对称的构造张量T关于指标的对称部分和反对称部分对称部分●●反对称部分则取n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵)之和(2.6)(2.7)如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵§1.3物理量在空间反演变换下的分类空间反
5、演定义为特点：改变了坐标系的左、右旋右旋左旋(3.1)1.3.1变换矩阵则为真正的张量,简称张量若n阶张量T的分量按照下式变换(3.3)称为赝张量在空间反演下,若的分量按n个坐标乘积的反演变换规律变换,即(3.2)赝张量，赝矢量，赝标量1.3.2称为场的空间宇称赝标量(轴)矢量二阶赝张量标量(极)矢量二阶张量常见的空间宇称为标量坐标系反演时数量和符号不变如质量，电荷，温度等赝标量反演时符号改变。如极矢量的混合乘积不变张量:1.3.3若张量在坐标转动变换不变(3.4)例3.1不变矢量是零矢量例3.2是一个二阶对称张量,而且是
6、不变张量证明:证明:又二阶张量为一单位矩阵故不变张量二阶对称张量共27个分量，6个不为零i,j,k为(1,2,3)的正循环i,j,k为(1,2,3)的逆循环其它情况(3.5)全反对称张量(3.6)1.3.4符号和的关系Levi-Civita符号的定义123如：构成三阶全反对称张量●3×3矩阵的行列式的计算为(3.7)对于一个二阶张量,以其分量为矩阵元的行列式为(3.8)易验证上式可写成相邻两列交换改变符号相邻两行交换改变符号将移到等式左边得:(3.10)的转置矩阵类似地相邻两行交换改变符号(3.9)由此得当则由(3.9)(
7、3.10)两式得(3.11)利用公式可得(3.12)在(3.12)式中取如上式中第一行第一列满足上式中取上式中取，有(3.15)(3.16)(3.14)(3.13)例3.3证明满足(3.17)其中:“+”号适用右旋系,“-”适用左旋系证明:正交坐标系中的基矢满足关系(3.18)其中(i,j,k)是(1,2,3)的正循环“+”:右旋系,“-”:左旋系于是(3.19)(3.20)而根据(3.7)式,(3.20)式化为比较以上两式,有(3.21)(3.20a)例3.4试证的27个分量构成一个三阶赝张量证明:考虑右旋系，在坐标转动
8、变换下不变有利用基矢的转动变换三阶张量空间反演,右旋系变为左旋系赝张量利用(3.17)和(3.21)可得(3.22)(3.23)则A和B的张量积用表示,定义为:§1.4张量代数代数运算1.加减法:张量的和(差)为对应分量的和(差)2.数乘:张量和标量的乘法.:实（复）数(4.1)(4.2)3.张量积(并
