三维欧氏空间中的贝特朗曲线与其推广问题

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1、东北大擘硕士学位论文第一章引言的方法。1919．1920年，嘉当关于欧氏和非欧空间中常曲率子流形的研究推广了经典的可展曲面的理论，而这方面最令人注意的工作是他于1938．1939年关于球空间中等参超曲面族的结果。1926-1935年间，嘉当开创了纤维丛的联络论，这一理论对后来的几何学，拓扑学及理论物理的研究有极大的推动作用。这无疑是微分几何学史的一个里程碑。这一时期微分几何的另一代表人物就是伟大的华人数学家陈省身(1911-2004)教授。1944年陈省身发表了他自称为“一生最得意的文章”的‘对闭黎曼流形高斯——博内公式的一个简

2、单的内蕴证明》一文，首先采用了“内蕴丛”的方法，把微分几何的研究从局部推向了整体。这是微分几何史上的又一个里程碑。从20世纪30年代到50年代，陈省身、法国数学家埃特斯曼等人的工作使纤维丛理论成为一个成熟的数学理论。在这一时期，美国数学家惠特尼(I-I．Whilney，1907-1989)于1936年发表‘微分流形》一文，给出了微分流形的一般定义，并于1937年引进了“纤维丛”的概念。并定义了作为纤维丛结构的基本不变量的惠特尼示性类，对拓扑和微分几何的发展作出了巨大的贡献。在这一时期，我国数学家吴文俊早在1937年就对惠特尼的对

3、偶定理给出了一个简单的证明，并提出了吴示性类，并给出了计算斯蒂菲尔——惠特尼示性类的“吴公式”。我们还要提到华人数学家，陈省身的学生丘成桐的工作，他于1976年成功地解决了微分几何领域里著名的“卡拉比猜想”，此后还解决了一系列与非线性偏微分方程有关的其它几何问题，并证明了广义相对论中的正质量猜想等。微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间中的曲线在一点处的曲率、挠率等，就是微分几何中重要

4、的讨论内容，而要计算曲线或曲面上的曲线在一点处的曲率、挠率就要用到微分的方法。在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条铡地线，还要讨论测一2．东北大擘项士擘位论文第一幸引言地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。以及后来发展的黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数、微分流形、纤维丛理论等与微分几何有着密切的联系，也是重要的研究内容。在微分几何中

5、，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标架的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小。一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。数学家陈省身教授采用了“内蕴丛”的方法，把微分几何的研究从局部推向了整体。从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维丛理论的发展过程可以看到，除了微分几何本身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科及物理学、力

6、学等也推动了微分几何的发展。我们特别在这里强调一下理论物理与微分几何的相互影响，黎曼几何与广义相对论的相互推进，既发展了引力理论，也促使微分几何本身进一步发展。近年来，整体黎曼流形的研究也被用到引力理论的研究中去。随着高能物理学的发展，规范场的重要性日益显著，纤维丛几何是规范场研究的一项有力的数学工具，微分几何中一些深入的内容如陈省身示性类、Atiyah-Singer指标定理等都在研究中起了突出的作用。总之，微分几何在理论物理中的作用愈来愈显示出其重要意义，这是一个值得注意的动向，它必将进一步推进微分几何的向前发展。由于不定度量

7、的引入，使得对几何空间的研究进入了一个与正定度量下不一样的领域。可以认为这是研究方法的不同，同时我们又有了新的研究内容。如在闵可夫斯基空间、洛伦茨空间中研究曲线甚至曲面的性质。当在正定度量下的空间成立的某些结论放到不定度量下的空间就不一定成立，在低维(不超过三维)空间成立放到高维空间就不一定成立。这可能需要一些新方法的引入。本论文所研究的就是在三维欧氏空间中存在的贝特朗曲线推广到高维欧氏空间和洛伦茨空间中所遇到的问题。-3．东北大学硕士学位论文第一章引言1．2预备知识1．2．1基本概念给出C2类三维欧氏空间(F)曲线(c)和(c

8、)上一点尸。设曲线(c)的自然参数表示是其中J是自然参数，则易知．毋口_，’2i是一单位向量a口称为曲线(c)上，点的单位切向量。由于H=1，有上式对J求微分得由此得到即假设，≠0，在口’上取单位向量口2(4=b(412=1夕称为曲线(c)上，点的主法向量。再作