三维欧氏空间中的一类weingarten螺旋面

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1、2010年8月纯粹数学与应用数学Aug．2010第26卷第4期PureandAppliedMathematicsV_01．26NO．4三维欧氏空间中的一类Weingarten螺旋面纪凤辉，王艳(中国石油大学(华东)数学与计算科学学院，山东东营257061)摘要：通过求解相关的非线性常微分方程，构造了三维欧氏空间中主曲率之差为常数的螺旋面，并证明这类曲面的广泛存在性．关键词：螺旋面；主曲率；平均曲率；Gauss曲率中图分类号：O186文献标识码：A文章编号：1008-5513(2010)04—0567-031引言三维欧氏空

2、间中，两主曲率满足某一非平凡关系式F(A1，A2)=0的曲面称为Weingarten曲面【1J_关于Weingarten曲面的存在性的讨论及进一步的构造问题是微分几何研究的重要问题．作为一类特殊的Weingarten曲面，文献【2]讨论了常平均曲率和常Gauss曲率(亦即主曲率之和，之积为常数)的螺旋面，文献【3—4】研究了主曲率之比为常数的螺旋面，并进一步构造了平均曲率或Gauss曲率为给定光滑函数的螺旋面，同时证明了这两类螺旋面广泛的存在性．在文献【5】中给出了螺旋面的许多例子，并讨论了一些几何性质．本文讨论主曲率之

3、差为常数的螺旋面的局部存在性和构造问题．这是对上述结果(亦即主曲率之和，之积和之比为常数的螺旋面)的～个补充．2预备知识三维欧氏空间0中的螺旋面M：T(u，V)=(COSV，usinV，f(u)+hv)是一条平面曲线()=(U，0，，())经由以0为轴的螺旋运动gv：。一。所生成的曲面，其中g可表示为：gv(x，Y，Z)=(COSV—Ysinv，XCOSV+YsinV，Z+hv)h是常数，称为符距，f(u)是光滑函数．关于螺旋面的更多实例及图形参见文献[5】容易算出M的第一基本形式I和第二基本形式I1分别为：I=(1+f

4、,2)du。+2hfdudv+(+h2)dv。收稿日期：2009—09—14．基金项目：国家自然科学基金(70871051)．作者简介：纪凤辉(1974-)，副教授，研究方向：微分凡何568纯粹数学与应用数学第26卷II=D一／。(ufdu。一2hdudv+u2fdv。)，，●●●JC、●【其中D=U2f1+if2)+h．㈤设H和K分别为M的平均曲率和Gauss曲率，则有=l土日：，(2)一u：．㈤由(2)，(3)式易知：H和K均为参数U的函数，而与参数无关，故三维欧氏空间中的螺旋面皆为Weingarten曲面．h=0时

5、，螺旋面即为旋转曲面．州+出3主要结果，+定理3．1三维欧氏空间中，局部存在着主曲率之差为任意给定正常数C的螺旋面，且均可表示为∞其中：土(u2+h2)／兰上兰d+c，。：max{。，ll一)c1和C2是积分常数．特别地，主曲率之差为C的旋转曲面可表示为lr(，)=(usin，UCOS，，(u))，U∈(0，+∞)，∈，，=士／，其中=culn(clu)，Cl和C2是积分常数，且el>0．证明设M为R3中的螺旋面，其参数表示为(1)式，若M的主曲率之差为C，即其平均曲率和Gauss曲率满足方程H2一K：C24考虑方程(4

6、)，令：2fD—i1(5)对任意U∈(0，+∞)，由(2)，(3)式，有2uH：At,2uK=()(6)第4期纪凤辉等：三维欧氏空间中的一类Weingar~en螺旋面569联立(4)，(6)式，有(+h2)rA、，lhc一——L十—(u2+—h2)2一一4‘进一步，联立(5)，(7)式，即可得到(4)式的通解：／[u一c其中：土(u2+h2)／上兰之d+c，。：max{。，lf一九)，C1和C2是积分常数．特别地，h=0时，A=cu。ln(c1札)，)=士t／．d，其中=A／u=cu1n(c1)．现在讨论这类螺旋面的存在

7、性及构造问题．显然，在表达式(8)中，C2u+h2)。一4h。>0当且仅当U>．对任意U0∈(，+。。)，令F(，c】)=U一A为定义在(，+∞)×C的函数．易知：对任意u0∈(，+∞)，可适当选择Cl，使得：F(o，c1)>0．由F的连续性，存在开区间IC(，+。。)，，-BC，F在IXBCR恒为正数．对任意(U，C、1●)，∈IXB，C2∈，及给、定J常数C，定、义双参、m，数族曲线：)=(士．、／¨cz)，其中A由(8)式给出．对这族曲线作用符距为h的螺旋运动，即可得到一族螺旋面，其主曲率之差为c．若M为主曲率之差

8、为C的旋转曲面，联立(4)，(6)和(9)式，则有：定理3．2设M为三维欧氏空间中的旋转曲面，其参数表示为r(u，V)=(usinv，COSV，，(u))若其主曲率之差为正常数C，则其主曲率1，2为1=ln(clu)+c，A2=ln(clu)或1=一ln(clu)+C，A2=一ln(clu)，其中c1是积分常数，且C