有趣的贝特朗问题

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1、贝特朗问题与等可能性苏教版数学教材必修三最后一章：概率。本章主要内容：古典概型跟几何概型。两者的区别很明显。古典概型要求要有限等可能，几何概型为无限等可能。对于古典概型，没有多大的悬念，但是对于几何概型却不同。正是由于这个等可能，就给事情带来了不寻常的地方。对于同一个问题，可能从不同的方面考虑，最后得到完全不同的结论。教材P104拓展探究中讲到：背景相类似的问题：半径为1的圆内，随机取一条弦，求该弦长度超过圆内接正三角形的边长的概率。这就是著名的贝特朗问题，当思考问题的角度不同时，得到的概率是不同的。对于一个几何概型，通常概率为测度之比。常见测度

2、有：长度、角度、面积、体积。对于一个圆显然用不到体积。下面就分别从长度、角度和面积方面去考虑。在解决这个问题之前还需要弄明白一个问题：就是如何去确定这条弦。因为这个问题能直接影响到我们采用哪个测度进行计算。要确定弦，其实就是找出弦的两个端点的位置。第一种方法：首先确定一个点，将其视为定点，而另外一个点的位置不定。那么就转化成如下图的情形。那么P点的位置可以由的长度决定P点本来可以在圆上任意位置。则D测度为，要使弦长大于圆内接正三角形的边长，则P点只能在上，则d测度为，故P（弦长度超过圆内接正三角形的边长）。对于这种方法，有个问题，就是点A其实并不

3、是固定的，他与B点一样是动点。所以这种方法尽管很有道理，但是不是正确的方法。第二种方法：确定一个点，以该点做圆的切线，然后依然以该点为端点做射线，则射线与圆相交的部分则为弦如下图所示：射线AP与圆交于P点。则D测度为，d测度为，故P（弦长度超过圆内接正三角形的边长）。第二种方法与第一种方法类似的漏洞，就是这个A点，应该是动点，这边却将其固定。这种做法依然不妥。第三种方法：在解析几何中常用的方法：直线与圆相交，通常用半径、半弦长、弦心距这个特殊的直角三角形的几何法进行考虑。对于弦来说，半径和弦心距是定值，所以这个弦的半弦长就确定，即弦长确定。反过来

4、，当弦心距定，则弦长也定。所以，弦长可以由该弦的弦心距来唯一确定。于是有下面这种方法。于是D区域为大圆，d即为小圆，则：P（弦长度超过圆内接正三角形的边长）下面来看看这个过程，好像也是蛮有道理的，很多人也认同这种做法。但是仔细看看好像出问题了。原因是，一个点的确是可以确定弦，但是有一个特殊点不是这样的。圆心，很明显，除圆心以外的点，与弦心距垂直的弦是唯一的。但是过圆心的弦是无限多的。如果前面两种方法还说得过去，这种方法是错误的。它已经违背了概率的基本要求，那就是等可能。没有等可能作为前提，求出的概率是不正确的。当然，有人提出单独的一个圆心是没有测

5、度的，所以我们可以把两个区域中的圆心都去掉，于是依然可以得到这个结果，这样解释也就合理多了。再来看第四种方法：任取一弦AB，作垂直于AB的直径PQ。过点P作等过三角形，交直径于N，并取OP的中点M：容易证明QN=NO=OM=MP。我们知道，弦长与弦心距有关。一切与PQ垂直的弦，如果通过MN线段的，其弦心距均小于ON，则该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率P（弦长度超过圆内接正三角形的边长）。我们可以发现，这个问题中采用的是做任意一条直径PQ的平行弦的方法。由于圆是一个高度对称的图形，我们将所有等长的弦都转化到与直径垂直的情况。貌似可以。但是也

6、有个致命伤。这个伤与方法三有惊人的相似。就是过圆心的弦，也就是直径。由于直径是无限多的，所以考虑问题时，忽略了等可能这个前提。同样地我们也可以效仿方法三：将过圆心的直线去掉，就可以解释这个结果。当然。前面的每一种方法都有其优秀的方面也有其局限性。至于三与四的改进方法是否真的合理，并没有定论。介于以上原因，我们是否可以考虑：既然是弦，弦是由两个端点所决定的，那么我们是否可以用两个端点来解决问题？首先在圆上随机取一点P，而圆上其余各点的位置按顺时针方向在内相应增长如图：设A、B在圆周上的位置分别是，则，当且仅当那么用表示每次实验的结果，如下图：则所有

7、基本事件构成正方形区域，其中阴影部分为事件构成的区域，符合几何概型条件，故。对于这种方法，被大多数人所认可。因为它将在圆周上选取两点视为等可能事件，从而以面积作为测度，应用几何概型理论得出答案；此法是从题目中的原始条件出发，没有进行等价转化，不易出错，算作一种通法；然而用通法解题往往比较复杂，况且本题中还涉及到两个变元，计算过程显得不够简便。这是没有规定概率论基础的问题。他的问题提出本身是不严密的。在高中教育中应该尽可能的避免出现这种不严密的题设条件。本人在上课的过程中提出了两个类似的问题，将贝特朗问题细化，强化前提条件，其一：在半圆中，做平行于

8、直径的弦；其二：在圆中，过定点A作弦。那么问题就很明确，就能得到正确的结果了。当然，这个问题是作为拓展探究题出现的，本身就是让学生拓展思