贝特朗悖论(几何概型).doc

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1、一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期第38页《福建中学数学》2010年第05期第23页1题目点为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧的长度小于1的概率为.（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点只能在优弧上运动，因此所求概率为图1图2.2题源2.1源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？

2、”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1如图2，满足条件得弦为.不失一般性，先固定其中一点于圆周上，则另一端点只能在弧上运动，因此所求概率.解法2如图3，应用对称性.可预先固定直径，点为的四等分点.作垂直于直径的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长，于是弦心距，即弦的中点须在线段上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为.图4图3解法3如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长，于是弦心距，即弦中点必须在以为圆心、半径为的圆内或圆上，故所求概率.这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一

3、问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“

4、），矛头直指几何概率概念本身.悖论提出后，在数学界引起很大震动，促使数学家理性反思概率论的基础理论.1932，这个问题才由前苏联的数学家柯尔莫哥洛夫解决，他在其经典的著作《概率论基础》中建立了在测度论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论建立在完全严格的数学基础之上.贝特朗悖论贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对“几何概型”这一概念更加地深入了解而已.“贝特朗悖论问题”：在半径为1的圆内

5、随机地取一条弦，则其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？取单位圆，的内接正三角形的边长等于，取的任一弦长，记“”的事件为.图2图1图3 解法1因为弦长只和它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此不妨固定弦的方向，考虑弦与垂直于它的直径的交点，分别以为一个顶点作圆内接正三角形，这两个正三角形的边与分别交于点，交点位于上时（如图1），有弦，否则.由于，.解法2任何弦都交圆周于两点，不失一般性，不妨固定弦的一端于圆上，以此点位顶点作一圆内接正三角形，弦的另一端在圆周上“随机地”变动（如图2），当点落在所夹弧

6、上时，有弦，否则，的长是圆周长的，.解法3因为弦长被中点唯一确定，在圆内“随机地”取一点作为弦的中点，若，则弦，否则，故点在以为圆心，为半径的圆内（如图3），而小圆的面积大圆面积的，.贝特朗悖论几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”（亦称”贝特朗怪论“），矛头直指几何概率概念本身.在一给定圆内所有的弦中任选一条弦,求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率.　　取单位圆，的内接正三角形的边长等于

7、，取的任一弦长，记“”的事件为.1.,如果,其发生的概率为；　　2.,如果,其发生的概率为.　　3.,如果在半径为的圆内，其发生的概率为.悖论分析　　1）由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在～之间，其长才合乎要求.所有方向是等可能的，则所求概率为.此时假定端点在圆周上均匀分布.2）由于对称性，可预先指定弦的方向.作垂直于此方向的直径，只有交直径于点与点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为.此时假定弦的中心在直径上均匀分布.3）弦被其中点位置唯一确定

8、.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求.中点位置都是等可能的,则所求概率为.此时假定弦长被其中心唯一确定.这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.贝特朗悖论几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。然而，1899年，法国学者贝特朗（JosephBertrand）提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指一些数学基