由“贝特朗(Bertrand)奇论”引发的思考与认识

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1、由“贝特朗(Bertrand)奇论”引发的思考与认识附：摘要：我在进行高中数学必修3(人民教育出版社A版)第三章概率的教学时，再阅读了大学教材《概率论基础》(高等教育出版社.1997年第二版)第一章第4节几何概率，读到“贝特朗奇论”时，联系到自己在一些流行的参考资料中所遇到的一些问题，引发了一些思考，谈了一些自己的认识，提出了对《概率论基础》中“贝特朗奇论”解法二和解法三的看法，又给了“贝特朗奇论”两种解法，对用等可能性来定义概率，说了一些自己的思考和认识，欲与同行共同研讨.IntheteachingofChapterThreeProbabilityinthethirdco

2、mpulsorymathematicstextbook(People'sEducationPress:EditionA)ofseniorhighschool,IhavereadthecollegetextbookAFirstCourseinProbability(HigherEducationPress:thesecondedition,1997).Inthesection4ofchapterone,theideaofBertrand’sparadoxismentioned.Associatingitwithsomerelatedproblemsinsomereferenc

3、ebooks,IcameupwithsomenewideasandthoughtontheSolutionTwoandThreeofBertrand’sparadoxinthebookAFirstCourseinProbability.MorethoughtandmyownideasaboutthetwosolutionsofBertrand’sparadoxarementionedinthefollowingarticleandarehopedtobediscussedwithcolleagues.关键词：贝特朗奇论均匀分布等可能确定一一对应等价转化作者简历：张智方，男，

4、汉蔟，云南昆明人，出生于1959年，大学本科学历，中学高级教师，曾在各级报刊杂志上发表论文26篇，2000年评为中学特级教师，曾因所教学生参加全国中学生数学奥林匹克竞赛成绩突出评为昆明市数学奥林匹克竞赛优秀辅导员，主要研究方向：课堂教学设计，课例研究，初等数学解题研究，教材教法研究。联系方式：作者姓名：张智方通讯地址：云南省昆明第八中学(龙泉路)，邮编：650222，电话：18064871206，电子邮箱：zimou6@126.com,QQ：2431908728张智方附上2012年11月11日星期日投稿编号：2103937555由“贝特朗(Bertrand)奇论”引发的思考

5、与认识张智方(云南省昆明第八中学650222)我在进行高中数学必修3(人民教育出版社A版)第三章概率的教学时，再阅读了大学教材《概率论基础》(高等教育出版社.1997年第二版)第一章第4节几何概率时，由“贝特朗奇论”引发了一些思考，在此提出与同行共同研讨.贝特朗奇论：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？(c)(b)(a)[解法一]任何弦交圆周两点，不失一般性，先固定一点在圆周上，以此点为一顶点作一等边三角形，显然只有落入此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆的，故所求概率等于(见图(a)).[解法二]弦长只跟

6、它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直于某一直径，当且仅当它与圆心的距离小于时，其长才大于，因此所求概率为(见图b).[解法三]弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为的同心圆内时，弦长大于，此小圆面积为大圆面积的，故所求概率为(见图(c)).该教材指出：同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发现是在取弦时，采用不同的等可能性假定.在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布.这三种答案是针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验而言，它们都是正确的.对此我有下面三点思

7、考和认识：①对于解法二，“弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它垂直于某一直径”，这没错，但是求解概率问题的转化能用求解一般函数问题一样的转化吗？转化后还和原题等价吗？能用弦心距在区间内取值的概率来求弦长在区间内取值的概率吗？如果能，那么由弦长和弦心距、半径1的关系得()，得，弦由弦心距确定，同时弦心距也由弦确定，是不是也可以得出另一解法，概率为？能说这种解法也对吗？若说不对，又怎样否定它呢？!是不是有这样的问题，虽然弦心距在所给区间内上均匀分布的，弦是由和弦心距确定的，在给定区间上它们有一一对应