11 度量空间的定义与极限

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1、第一章度量空间第一章度量空间若在实数集中点列的极限是时，我们使用来表示和的接近程度，事实上，可表示为数轴上和这两点间的距离，那么实数集中点列收敛于也就是指和之间的距离随着而趋于0，即．于是人们就想，在一般的点集中如果也有“距离”，那么在点集中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？远和近你一会看我一会看云我觉得你看我时很远你看云时很近这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽

2、的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？1.1度量空间的定义与极限1.1.1度量空间的定义与举例定义1.1.1设为一非空集合．若存在二元映射，使得，均满足以下三个条件：（1）且当且仅当(非负性Positivity)；（2）(对称性Symmetry)；（3）(三角不等式Triangleinequality)，则称为上的一个距离函数，称为距离空间或度量空

3、间(MetricSpaces)，称为和两点间的距离．□注1：在不产生误解时，可简记为．下面我们来看一些具体的例子例1.1.1欧氏空间．设，定义．其中，可以验证是一个度量空间．在证明之前，引入两个重要的不等式．引理1.1.1(许瓦兹(Schwarz)不等式)任给个实数，有(1.1)证明任取实数，则由5第一章度量空间知右端二次三项式的判别式不大于零，即于是可得(1.1)式成立．□进一步有Hölder不等式其中且，称这样的两个实数为一对共轭数．引理1.1.2闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式任给个实数及，有(1.2)证明

4、由(1.1)式得这就证明了(1.2)式．□进一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中例1.1.1欧氏空间．设，定义．(1.3)其中，可以验证是一个距离函数．证明非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的，由闵可夫斯基不等式(1.2)有，即．从而得证是一个距离函数．□注2：称为维欧氏空间，称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间，均指由(1.3)式的欧氏距离所定义的．注3：在中我们还可以定义其他的距离：；5第一章度量空间．可以验证距离、均满足条件(1)、(2)和(3)．注

5、4：在中比较上述三种距离、和，可看看他们各表示什么？由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同的度量空间．下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间．例1.1.2离散度量空间设为非空集合，，定义距离(1.4)容易验证满足距离的三个条件，并称之为离散距离，为离散度量空间．例1.1.3连续函数空间，，定义，证明显然满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．及均有，故．称为连续函数空间，简记为．□注5：在中我们还可以

6、定义如下的距离：．可以验证均满足条件(1)、(2)和(3)，所以也为一度量空间．例1.1.4有界数列空间，对于，，定义，可以验证是一个距离函数，并称为有界数列空间，简记为．例1.1.5次幂可和的数列空间，定义(1.5)(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及的定义知其右端有界．可以证明是一个距离函数．称为次幂可和的数列空间，简记为．例1.1.6次幂可积函数空间5第一章度量空间即：在中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数．对于，定义距离那么为度量空间．并称为次幂可积函数空间，简记为．分析集合具有下列重要性质：(1)对线

7、性运算是封闭的．即若，是一常数，则．(2)．设，令，，则故．引理1.1.3闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式):设、是可测集上的可测函数且(1.6)证明因为，所以(1.6)式有意义．显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立．对于任意的有□上述例子涉及到常用的六个度量空间：维欧氏空间；离散度量空间；连续函数空间；有界数列空间；次幂可和的数列空间；次幂可积函数空间．1.1.2度量空间中的极限极限理论是数学分析的基础,数学分析主要研究微分和积分,而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中,利用

8、极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点