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1、第一章度量空间1.2度量空间的拓扑性质与连续性1.2.1度量空间的拓扑性质定义1.2.1邻域设(,)Xd是度量空间，x∈X，δ>0，称集合Ox(,)δ={
2、(,),xdxx<∈δxX}为以x为中0000心，δ为半径的开球，或x的一个δ邻域．如果不特别强调半径，用Ox()表示x的半径；称000Ox(,)δ=≤{
3、(,),xdxxδxX∈}为闭球．00定义1.2.2内点、开集与闭集设(,)Xd是一度量空间，x∈⊂GX，若存在x的δ邻域Ox(,)δ⊂G，则称点x为G的0000内点．如果G中的每个点均是它的内点，则称G为开集．并规定空集φ为开集．对于F⊂X，C若F=−XF是开集，则称F为闭集．注1
4、：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？例1.2.1度量空间(,)Xd的开球Ox(,)δ是开集．0*1*证明∀∈xOx(,)δ,显然dxx(,)<δ，取δδ=−((dxx,))，即2(δ+dxx,)=δ，则对任00002**何yOx∈(,)δ，都有dxy(,)<δ，从而*dyx(,)≤+dyxdxx(,)(,)<+δdxx(,)<δ．000*即Ox(,)δ⊂Ox(,)δ,所以Ox(,)δ是开集．□00δδ*xδx0x0*xδXX图2.1例1.2.1和例1.2.2证明示意图例1.2.2度量空间(,)Xd的闭球Ox(,)δ是闭集．0-8-——西安电子科技大学数学与统计学
5、院杨有龙教授ylyang@mail.xidian.edu.cn泛函分析导论C*1*证明∀∈xOx((,))δ，显然dxx(,)>δ，取δ=((,))dxx−δ，即2(δδ+=dxx,)，则00002*∀∈yOx(,)δ，有*dyx(,)≥−=dxx(,)(,)2dyxδ+δδ−>dyx(,)00C*CC可见yOx∈((,))δ，即Ox(,)δ⊂((,))Oxδ，从而((,))Oxδ为开集，故Ox(,)δ为闭集．0000例1.2.3设(,)Xd是离散度量空间，A是X的任意非空子集，证明A既是开集又是闭集．0111⎧⎫证明∀∈xA，取δ=，则Ox(,)=⎨⎬xdxx
6、(,),<∈=⊂xX{}x
7、A，故x是A的000000222⎩⎭内点，从而A是开集．由于X−A是X的子集，故它是开集，从而A是闭集．□下面是一些与实数域相类似的开集、闭集性质，仿照相应的证明可证得．定理1.2.1（开集的性质）度量空间X中的开集具有以下性质：(1)空集φ和全空间X都是开集；(2)任意多个开集的并集是开集；(3)有限个开集的交集是开集.定理1.2.2（闭集的性质）度量空间X中的闭集具有以下性质：(1)空集φ和全空间X都是闭集；(2)任意多个闭集的交集是闭集；(3)有限个闭集的并集是闭集.定义1.2.3聚点与闭包设(,)Xd是一度量空间，A⊂X，x∈X，如果在x的任意δ邻域Ox(,)δ内含有A中异000于
8、x的点，则称x是A的一个聚点或极限点．A的全体聚点所构成的集合称为A的导集，记00为A′，称AUA′称为A的闭包，记为A．注2：由聚点的定义知，x可以在A中，也可以不在A中．x是A的一个聚点的一个等00价定义是：x的任意一个去心δ邻域与A的交非空．0定理1.2.3设(,)Xd是度量空间,x∈X,A⊂X,那么下面的命题成立:0(1)x∈A′当且仅当存在{}x⊂A，使得limx=x；0nn0n→∞(2)A是闭集；(3)A是闭集当且仅当A=A.注3：对于度量空间(,)Xd,设A是X的非空子集,则A为闭集的充要条件是A′⊂A.如果A′≠φ,那么A为闭集.定义1.2.4边界点与孤立点设(,)Xd是一
9、度量空间，A⊂X，若x的任意邻域内既有属于A的点，也有不属于A的点，0——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@mail.xidian.edu.cn-9-第一章度量空间则称x为A的边界点．A的全体边界点所构成的集合，称为A的边界，记为∂A．若x∈A，00但x不是A的聚点，则称x为A的孤立点．00注4：x是A的孤立点的充要条件是：存在x的某个δ邻域Ox(,)δ，使得000AIOx(,){}δ=x．00注5：A的边界点不是聚点便是孤立点．oo注6：闭包的其他形式表示：AAAAAAA=∂UUU=∂=′{}的孤立点．其中A表示A的全体内点所构成的集合，称其为A的内部．由孤立点的定义
10、可知离散度量空间(,)Xd中的每个点都是孤立点，由例1.2.3知(,)Xd的00o子集A既开又闭，所以AAAA==={}的孤立点．o对于一般的度量空间X而言，A⊂X，A的内部A是由一些聚点和孤立点组成，A的边o界∂A也是由一些聚点和孤立点组成，且AAI∂=φ．A的导集A′是由一些内点和边界点组成，A的孤立点要么是边界点要么是内点，且AA′I{}的孤立点=φ．1.2.2拓扑空间定义1.2.5拓扑空间设X是一个非空集合，如果
