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1、3.2实数的连续性关于实数完备性的基本定理确界原理、数列的单调有界定理、柯西收敛准则，这三个命题以不同的方式反映了实数集R的一种特性，称为实数的连续性或实数的完备性。有理数集就不具有这种特性。1即数列的单调有界定理在有理数域不成立。即柯西收敛准则在有理数域不成立。2本节介绍刻画实数完备性的另外三个定理：区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理，还将说明这六个基本定理的等价性。一、区间套定理定义1设闭区间列{[]}具有如下性质：(i)(ii)[]则称为闭区间套，或简称区间套.[][][·]3定理1（区间套定理）若{[]}是一个区间套，则在实数系
2、中存在唯一的一点，使证:由条件(i)为递增有界数列，依单调有界原理，有极限，且递减有界数列也有极限，并按区间套的条件(ii)有且且（存在性）单调有界原理区间套定理4即证明是唯一的.推论若是区间套所确定的点,()[][]证:（唯一性）5区间套定理主要用于存在性问题的研究.存在性的问题是数学分析的核心问题,许多问题都归结为证明存在某种性质的点.一般来说,要证明存在性的问题,是要回答“有没有”的问题.如果没有实数的基本定理(单调有界定理,区间套定理等)，这种存在性的回答是非常困难的.用区间套证题通常分为三个步骤：(1)分析所要证明存在的点满足
3、的所谓“邻域性质”，由此构造区间套（这一步往往是技术性的,有一定的难度）；(2)由区间套定理,确认点的存在性（关键的一步）；(3)验证所得到的点就是所要找的点.6在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说,证明问题需要找到具有某种性质P的一个数,常常应用闭区间套定理将这个数“套”出来。怎样应用闭区间套定理呢?①首先构造一个具有性质P的闭区间.性质要根据性质P来定。②其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P。③继续二等分法，得到满足闭区间套定理条件的和具有性质P的闭区间列，根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质
4、P的数。7例1.用区间套定理证明“数列的柯西收敛准则”.证:(必要性)(充分性)写作“几乎所有的项”即在区间内含有中除有限项外所有的项，8[充分性]即在区间内含有中几乎外所有的项.9仿以上方法得到闭区间列由区间套定理，存在唯一的一个数由推论得：因此在内含有中除有限项外的所有项，10二、聚点定理设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点。11整数集Z和自然数集N没有聚点。任何有限数集没有聚点.聚点概念的另两个等价定义:则称为S的一个聚点。若存在各项互异的收敛数列显
5、然，12三个定义等价性的证明:设为S（按定义）的聚点，())(无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列证毕。注意这种技巧！13定理3.2.2((Weierstrass)聚点定理)实轴上的任意有界无限点集E至少有一个聚点。证：因为E是有界点集，现将等分为两个子区间。因为E是无限点集，故两个子区间中至少有一个含有E中无穷多个点，区间套定理聚点定理再将等分为两个子区间，14再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有E中无穷多个点,将此等分子区间的手续无限的进行下去，得到一个区间列且15且其中每一个闭区间都含E中无穷多个点。由区间套定理
6、，存在唯一的点由推论得：从而内含有S中无穷多个点，按定义2，为S的一个聚点。1617例3.2.2（致密性定理）有界数列必含有收敛子列。证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，总是收敛的。点集{xn}至少有一个聚点，若{xn}中不含无限多个相等的项，则{xn}在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，证毕。注：于是按定义，存在{xn}的一个收敛子列（以为其极限）.用聚点定理证明致密性定理18注：聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。S是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚点为
7、e，因而在有理数域没有聚点。数列{xn}是有理数域内的有界数列，但其极限是无理数e.从而任一子列均收敛于e。故{xn}在有理数域内没有收敛的子列。19定义3.（开覆盖的定义）设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，即H的每一个元素都是形如的开区间.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限的（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。三、有限覆盖定理20也可以用以下方式定义开覆盖:定义3’：设S为数轴上的点集,H为开区间的集合:若则称H为S的一个开覆盖,或称H覆盖S.
8、21函数f在(a,b)内连续，这样就得到一个开区间集:它是区间(a,b)的一个无限开覆盖。是区间(0,1)的一个无限开覆盖。如：22例3.设则开区间集S没有覆盖区间I，不存在例4.设则开区间集S覆盖区间I，
