实数的完备性及其应用

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1、第一讲实数的完备性及其应用一、实数不可数二、实数完备性基本定理三、基本定理的等价性四、闭区间上连续函数性质证明一、实数不可数1、稠密性(1)有理数集是稠密的:任意两个有理数间必有一个有理数;(2)无理数集是稠密的:任意两个无理数间必有一个无理数;(3)实数集是稠密的:任意两个实数间必有一个实数.注记1：自然数集不稠密比如，偶数集、有理数集都是可数集.证(反证法)目的:认识都是无限集的自然数集、偶数集、有理数集和实数集的差别.2、不可数性定理1定义1注记2：此方法称为对角线方法；可数集有时也称为可列集.结论1：有理

2、数集是可数集;无理数集是不可数集;实数集是不可数集.1.确界存在定理2.单调数列收敛定理3.区间套定理4.有限覆盖定理5.聚点原理6.收敛子列定理(致密性定理)7.柯西收敛原理二、实数完备性基本定理1、确界存在定理首先定义数集的界,上界,下界.定义2记定义1定义3记注记1:上确界意为最小上界;下确界意为最大下界.定理1(确界存在定理)非空有下界的数集必有下确界;(2)非空有上界的数集必有上确界.例1定理22、单调数列收敛定理单调有界数列有极限.定义33、区间套定理例2定理3(Cantor)Cantor:康托尔,1

3、845—1918,德国定义44、有限覆盖定理例3定理4(Borel有限覆盖定理)Borel:波雷尔,1871—1956,法国例4定理5(Weierstrass聚点原理)有界无穷点集至少有一个聚点.Weierstrass:维尔斯特拉斯,1815—1897,德国5、聚点原理定义5定义5’定理6(Bolzano—Weierstrass致密性定理)有界数列必有收敛子列.Cauchy:柯西,1789—1857,法国6、致密性定理定义6Bolzano:波尔察诺,1781—1848,捷克7.柯西收敛原理定理7(柯西收敛准则)三

4、、定理的证明确界定理单调有界闭区间套有限覆盖柯西准则致密性聚点原理1、确界定理单调有界定理定理2单调有界数列有极限.2、单调有界定理闭区间套定理定理3(Cantor)定义3证(1)存在性(2)唯一性定义4定理4(有限覆盖定理)3、区间套定理有限覆盖定理证(反证法)4、有限覆盖定理聚点原理证(反证法)定理5(Weierstrass聚点原理)有界无穷点集E至少有一个聚点.定义5定义5’5、聚点原理致密性定理证分情况定理6(Bolzano—Weierstrass致密性定理)有界数列必有收敛子列.故有界数列必有收敛子列.

5、6、致密性定理柯西收敛准则定义6定理7(柯西收敛准则)证(必要性)（充分性）7、柯西收敛准则确界定理证只证(2),(1)类似定理1(确界存在定理)非空有下界的数集必有下确界;(2)非空有上界的数集必有上确界.定义2注记:1.确界存在定理称为实数的连续性定理,柯西存在准则称为实数的完备性定理,由上面的等价性知连续性与完备性是等价的.2.完备性本质上是对极限运算封闭,有理数是不完备的.四、闭区间上连续函数性质的证明1、有界性定理2、最大最小值定理3、零点存在定理1、有界性定理有限覆盖定理+极限局部有界性2、最值定理

6、确界定理+致密性定理+连续定义+极限夹逼准则3、零点存在定理区间套定理+连续定义+极限保序性五、小结实数不可数实数完备性的七个等价基本定理闭区间上连续函数性质的证明作业1.实数基本定理等价性的其他证明;2.利用区间套定理证明闭区间上连续函数有界性定理.参考书1.陈纪修,於崇华,金路.数学分析(第二版,上册),高等教育出版社.2.华东师大数学系.数学分析(第三版,上册),高等教育出版社.3.裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第二版),高等教育出版社.