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1、题目：实数的完备性及其应用姓名：***学号：200704010133系别：数学与信息科学系专业：数学与应用数学年级班级：2007级数应（二）班指导教师：***2011年5月10日毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版.同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检
2、索和查阅.本毕业论文内容不涉及国家机密.论文题目:实数的完备性及其应用作者单位：***作者签名：***2011年5月10日目录摘要…………………………………………………………………………………1引言…………………………………………………………………………………31.实数的完备性………………………………………………………………42.实数完备性的证明………………………………………………………43.实数完备性的应用……………………………………………………………9结束语…………………………………………………………………………12参考文献…………………………………………………………………………13致
3、谢……………………………………………………………………………14实数的完备性及其应用实数的完备性及其应用摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性,因此有多个实数集的完备性基本定理,包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性,来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述,让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.关键词：完备性；反证法；等价性CompletenessofthesystemofrealnumbersandapplicationsAbstract：Completene
4、ssofthesetofrealnumbersisitsbasiccharacter,anditisstabletheorybackgroundofcalculus.Itcanbedescribedanddepictedindifferentangles,sothereareconsiderablefundamentaltheoremsaboutit.Itcontainssixbasictheorems.Thattheessayusesthreedifferentwaysindividuallytoprovetheequivalenceofthesixprincipletheoremsis
5、systematicdiscussionaboutit,andmakesusacquiremorerecognitionandunderstanding.KeyWords:Completeness;Proofbycontradiction;Equivalence12实数的完备性及其应用引言众所周知,数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性,可微性以及可积性）,所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关,而且也与数列所在数集有关.如果在有理数集Q上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理
6、数列就不存在极限,因为它的极限是e,是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的,是实数集的优点,是有别于有理数集的重要特征.因此,将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.12实数的完备性及其应用1.实数集的完备性定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.定理2(单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．定理3(区间套定理） 设为一区间套：1.2..则存在唯一一点.定理4(有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在H中必存在有限个开区间,它们构成的一
7、个有限开覆盖．定理5(聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．定理6(柯西准则) 数列收敛的充要条件是：,只要, 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）2. 实数集完备性的证明定理1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.证我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下届
