资源描述：
《实数完备性的等价命题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、西安电子科技大学理学院杨有龙《应用泛函分析原理》第二节实数的完备性——等价的六个定理实数可分为有理数与无理数．有理数经过极限运算后可能不再是有理数，称这一性质为有理数系的不连续性或不完备性．而实数系不同，它在数轴上是连续分布的，称之为是数系的连续性或完备性．本节的数集限制在实数集R及它的任一子集．设有数集A及数M(m)，如果对任何的x∈A，都有x≤M(x≥m)，则称数M(m)是数集A的上界(下界)，若数集A同时有上界与下界，则称A有界．数集A的最小上界叫做A的上确界，记作supA．关于数集A的上确界，常用下述等价定义．定义1.1设A⊂R，M∈
2、R，如果M与数集A之间满足以下条件：(1)对任意的x∈A，都有x≤M；(2)对任意给定的ε>0，总存在x∈A，使得xM>−ε．00则称数M是数集A的上确界，记为M=supA．数集A的最大下界称为A的下确界，记作infA．类似地，可以给出下确界的等价定义．根据上确界的定义知，若M是A的一个上界，则M是A的上确界的充要条件是存在A中序列{}a，使得limaM=．对于下确界的情形，可以给出类似的结论．nnn→∞定理1.1(确界存在原理)任何非空有上(下)界的实数集必有上(下)确界.定理1.2(单调有界定理)单调有界的实数列必有极限.定理1.3(区间
3、套定理)设{[abn,(1]}=,2,)"是一列闭区间，ab<，如果nnnn(1)[ab,,]⊃⊃[ab]""⊃⊃[ab,]；1122nn(2)lim()ba−=0，nnn→∞∞则存在唯一的x0∈R，使得x0∈∩[]abnn,，并且有limabnn=lim=x0．nn→∞→∞n=1定义1.2设E⊂R，HAI=∈{}α是一族开区间(指标集I为有限集或无限α集)．如果∀∈xE,存在AH∈，使得x∈A，则H称为E的一个开覆盖．如果H是αα有限集，则称H为E的一个有限开覆盖．定理1.4(有限覆盖定理)设H是闭区间[ab,]的一个（无限）开覆盖，则从H
4、中可选出有限个开区间来覆盖[ab,]．第1-2-1页西安电子科技大学理学院杨有龙《应用泛函分析原理》定理1.5(致密性定理)有界数列必有收敛子列．定义1.3设数列{}x，如果∀>ε0，∃N∈N，使当mnN,>时，总有xx−<ε,nmn则称{}x是基本列或Cauchy列．n定义3也可叙述为：∀>ε0，∃N∈N，当nN>时，对一切自然数p，总有xx−<ε．np+n定理1.6(柯西收敛准则)数列{x}是收敛列当且仅当{x}是基本列.nn定理1.1(确界存在原理)任何非空有上(下)界的实数集必有上(下)确界.定理1.2(单调有界定理)单调有界的实数列
5、必有极限.定理1.3(区间套定理)若{[ab,]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的nn一点c，使得cabn∈=[,],1,2,."即acbn≤≤=,1,2,."nnnn定理1.4(有限覆盖定理)设H是闭区间[ab,]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[ab,]．定理1.5(致密性定理)有界数列必有收敛子列．定理1.6(柯西收敛准则)数列{x}是收敛列当且仅当{x}是基本列.nn可按下列顺序给予证明：1234561⇒⇒⇒⇒⇒⇒定理1.1⇒定理1.2(确界存在原理⇒单调有界定理)证明不妨设数列{x}单调递增有上界，由确界定
6、理知：{x}存在上确界β.nnxxx≤≤≤≤≤≤""xβ123n因此，∀>ε0，∃∈NN，使x−εnN，有Nβ−<≤≤<+εβxxβε，即limx=β.Nnnn→∞定理1.2⇒定理1.3(单调有界定理⇒区间套定理)证明显然{a}是单调增加且有上界a的数列，{b}是单调减少且有下界b的nn数列，由单调有界定理知：limaa==sup{}a，limbb==inf{}bnnnnn→∞n→∞且aabb≤≤≤.又由条件知0l≤ba−≤im(ba−=)0，记cab==，于是nnnnn→∞第1-2-2页西安电子科技大学理学院杨有龙《应用泛函
7、分析原理》limac==limbnnnn→∞→∞如果存在另一个数d满足adb≤≤，则有nn00≤−≤−→dcba()n→+∞nn即dc=.定理1.3⇒定理1.4(区间套定理⇒有限覆盖定理)分析用反证法，若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这区间二等分，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间，从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾．证用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖[ab,]．将[ab,]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区1间来覆盖．记这个子区
8、间为[ab,]，则[ab,,]⊂[ab]，且ba−=−()ba．1111112再将[ab,]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限111个开区间
