§4.2 连续函数的性质

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1、第四章函数的连续性§2连续函数的性质《数学分析》电子教案§2连续函数的性质【教学目的】掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；【教学重点】连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的性质。【教学难点】连续函数性质的应用。一连续函数的局部性质若函数f在点连续，则f在点有极限，且极限值等于函数值。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f在U()的性态。定理4.2（局部有界性）若函数f在点连续，则f在某U()内有界。定理4.3（局部保号性）若函数f在点连续，且，则任何正数，存在某U()，使得对一切U(

2、)有注在具体应用局部保号性时，常取，则（）存在某U()，使在其内有。定理4.4（四则运算）若函数和g在点连续，则有（这里）也都在点连续。以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得。对常量函数y=c和函数y=x反复应用定理4.4，能推出多项式函数和有理函数(P,Q为多项式)在其定义域的每一点都是连续的。同样，由sinx和cosx在R上连续性，可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续。关于复合函数的连续性，有如下定理：定理4.5若函数f在点连续，g在点点连续，，则复合函数在点连续。证由于g在连续，对任给的ε＞

3、0，存在，使得当时有（1）第8页共8页第四章函数的连续性§2连续函数的性质《数学分析》电子教案又由及在点连续，故对上述，存在δ＞O，使得当时有.联系（1）得：对任给的ε＞O，存在δ＞O，当时有这就证明了在点连续。注根据连续性的定义，上述定理的结论可表为例1求.解可看作函数的复合。由（2）式得注若复合函数的内函数f当x→时极限为a，而或在无定义（即为f的可去间断点），又外函数g在u=a连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有(3)读者还可证明：（3）式不仅对于x→这种类型的极限成立，而且对于x→＋,x→-∞或等类型

4、的极限也是成立的.例2求极限：解;二闭区间上连续函数的基本性质定义1设f为定义在数集D上的函数。若存在∈D，使得对一切x∈D有第8页共8页第四章函数的连续性§2连续函数的性质《数学分析》电子教案则称f在D上有最大（最小）值，并称为在D上的最大（最小）值。例如，sinx在［0，］上有最大值1，最小值0。但一般而言，函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值（即使在D上有界）。如f(x)=x在（0，1）上既无最大值也无最小值，又如（4）它在闭区间［O，1］上也无最大、最小值。下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。定理

5、4.6（最大、最小值定理）若函数f在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则f在［ａ，ｂ］上有最大值与最小值。此定理和随后的定理4.7以及本节最后的定理4.9，其证明将在第七章§2给出。在这里读者先对这些定理有所了解，并能初步运用它们。推论（有界性定理）若函数f在闭区间［ａ，ｂ］上连续，则f在［ａ，ｂ］上有界。易见由（4）式给出的函数g在闭区间［O，1］上无界，请读者考虑为什么对函数g上述推论的结论不成立。定理4.7（介值性定理）设函数f在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且f(a)≠f(b).若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)

6、<μμ>f(b)）,则至少存在一点∈(a,b)，使得这个定理表明，若f在［ａ，ｂ］上连续，又不妨设f(a)

7、示：若点A（a,f(a)）与B（b,f(b)）分别在x轴的两侧，则连结A、B的连续曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点。应用介值定理，我们还容易推得连续函数的下述性质：若f在区间I上连续且不是常量函数，则值域f(I)也是一个区间；特别，若I为闭区间［ａ，ｂ］，f在［ａ，ｂ］上的最大值为M，最小值为m，则f(［ａ，ｂ］)=［m，M］；又若f为［ａ，ｂ］上的增（减）连续函数且不为常数，则f(［ａ，ｂ］)=［f(ａ)，f(ｂ)］（［f(b)，f(a)］）.下面举例说明介值性定理的应用。例3证明：若r>0，n为正整数，则存在唯一正

8、数，使得（称为r的n次正根（即算术根），记）。证先证存在性.由于x→+∞时有，故必存在正数a，使得.因在［0，a］上连续，并有f(0)