§2连续函数的性质

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1、§2连续函数的性质一连续函数的局部性质根据函数的在点连续性，可推断出函数在点的某邻域内的性态。定理4.2（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。定理4.3（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域时，定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在连续，则（）在点连续。例因连续，可推出多项式函数和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。同样由和上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，，则复合函数在点连续。证明由于在连续，对任给的，存在，使时有（1）又由及在连续

2、，故对上述，存在，使得当时，有.联系（1）得:对任给的，存在，当时有.这就证明了在点连续.注：根据连续性定义，上述定理的结论可表示为例1求.解可看作函数与的复合.由(2)式,可得第7页共7页注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在无定义（为的可去间断点），又外函数在处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有读者还可证明(3)式对于或等类型的极限也是成立的。例2求极限：（1）；（2）.解(1)(2)二闭区间上连续函数的基本性质前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。定义1设f为定义在数集D上的函数，若存在

3、，使得对一切有，则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值.例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D上不一定有最大值或最小值（即使f在D上有界）。如在上既无最大值又无最小值，又如(4)在闭区间上也无最大、最小值。定理4.6(最大最小值定理)若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大值与最小值。推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。第7页共7页定理4.7(介值性定理)若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得.推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号

4、，则至少存在一点使得.即在内至少有一个实根.应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值域也是一个区间；特别若为区间[a,b],在[a,b]上的最大值为,最小值为，则；又若为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则例3证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得.证明先证存在性。由于当时有，故存在正数，使得.因在上连续，并有，故有介值性定理，至少存在一点使得.再证唯一性。设正数使得，由于第二个括号内的数为正所以只能，即.例4设在[a,b]连续，满足证明：存在，使得证对任何有，特别有以及.若或，则取，从而（

5、6）式成立。现设与。。令，则，.有根的存在性定理，存在，使得即.第7页共7页三反函数的连续性。定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数在相应的定义域（）上递增（递减）且连续。证明（只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为。设，且x1x0x2ba0y2y0y1f(b)f(a)则，对任给的可在的两侧各取异于的两点（），使它们与的距离小于（参见右图）.设，由函数的严格递增性，必分别落在的两侧，即当.令，则当时，对应的的值必落在之间，从而.应用单侧极限的定义，同样可证在区间端点也

6、是连续的。例5由于在区间上严格单调且连续，故反函数在区间[-1，1]上连续。同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数在其定义域内是连续的。例6由于（为正整数）在严格上单调且连续，所以它的反函数在上连续。又若把（为正整数）看作由与的复合，。综上可知，（q为非零整数）其定义域内是连续的。四一致连续性第7页共7页前面介绍的函数在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的不仅与有关，而且与有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的只与有关，而与无关。定义2（一致连续性

7、）设函数在区间I上有定义，若只要，，都有，则称在区间I上一致连续。这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说在区间I一致连续意味着：不论两点在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使.显然I必然在I上每一点连续，反之，结论不一定成立（参见例9）。按照一致连续的定义，在区间I不一致连续意味着：对于某个对任何的（无论多么小），总存在两点尽管，但却有例7证明在内一致连续。证明对，取，不管是中的怎样两点，只要，就有：所以在内一致连续。例8证明在内一致连续，但在内不一致连续。第7页共7页证明在内一致连续：

8、1/x1–1/x2

9、x1x2y=1/x对，取

10、，不管是中的怎样两点，只要，就有：所以在内一致连续。但在内不一致连续。取,对任意的，都存在两点，尽管，但所以，在内不一致连