欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:29623309
大小:333.50 KB
页数:6页
时间:2018-12-21
《§1-4连续函数的主要性质》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、27§1-4连续函数的主要性质§1-4连续函数的主要性质若函数在开区间内每一点都连续,即在每一点都有则称函数在开区间内是连续函数(图1-17).而称函数在闭区间上是连续函数,除了它在开区间内每一点都连续外,还满足条件[图1-18]:(右连续)和(左连续)xxb图1-18yxOaxx0yxbOax图1-17在定义域上连续的函数简称为连续函数.读者在前面看到,多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数,在定义域内每一点都是连续的,即它们都是连续函数.从几何上说,区间上的连续函数,它的图形(图象)是连续不断的曲线.根据函数极限的
2、运算规则,能够很容易地证明下面的结论.定理1-5若函数和在点都是连续的,则它们的和、差、积、商[除去分母在点等于]在点也都是连续的.特别,常数与函数的乘积在点当然也是连续的.证证明是简单的.譬如,因为所以商在点是连续的.根据上述定理,连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数.函数之间的运算,除了加、减、乘、除外,还有一种复合运算.例如,函数[注意,,不是]是由简单指数函数和幂函数复合而成的复合函数.再如,是由简单对数函数、幂函数和简单三角函数,依次复合成的复合函数.一般地,若函数定义在区间上,而函数定义在区间上,且
3、函数的函数值在区间上,则函数就是定义在区间2727§1-4连续函数的主要性质上的函数.称它为由外函数和内函数复合成的复合函数.近代数学中把它记成,即[不是!]若内函数在点连续,而外函数在相应点也连续,则复合函数在点也连续.这是因为,当无限接近时,函数值无限接近,从而函数值就会无限接近.用极限式表示成我们把这个结论叙述成下面的定理:定理1-6若内函数在点连续,而外函数又在点连续,则复合函数在点也连续.【注】根据这个定理,若外函数是连续函数,而且有极限[有限值],则有(极限记号与函数记号交换次序)例如;再如,(分子分母同除)
4、(与交换次序)区间上的连续函数是一元函数微积分研究的主要对象,因为区间上的连续函数具有许多很好的性质.而这些性质是我们能够证明微积分中许多重要定理的基础.虽然从直观上说,这些性质都是很明显的,可是要证明它们是不容易的(证明在第二篇中).在这些性质中,我们先给出下面几个定理.定理1-7闭区间上的连续函数是有界的(有界性定理),而且有最大值和最小值[最大(小)值定理].(图1-19)图1-19axbyO2727§1-4连续函数的主要性质xbO①ay②Obayx图1-20定理1-8若函数在闭区间上连续,且,则至少有一点,使(零
5、点定理,图1-20).例10证明:方程至少有一个正根不超过.证令.显然,,而另有足够大的正数使.因此,必有点,使,即正数是方程的根,而且推论若函数在闭区间上连续,且,则介于与之间的任何数,都是函数的函数值,即至少有一点,使.(介值定理)图1-21abxyO证不妨设(图1-21).作辅助函数则函数在闭区间上连续,且.根据零点定理,至少有一点,使,即.例11设函数在区间内连续,.证明:至少有一点,使[算术平均值,均值定理]证设,则根据介值定理,至少有一点,使2727§1-4连续函数的主要性质图1-22abOyxyx在§0-5
6、中说,增函数(或减函数)有反函数,而且反函数也是增函数(或减函数).另一方面,若是闭区间上的连续增函数,根据介值定理,它的函数值能够充满整个区间,而且它的反函数是区间上的连续增函数(图1-22).同理,若是闭区间上的连续减函数,则它的反函数是区间上的连续减函数.上述结论称为反函数连续性定理.请注意,在反函数连续性定理的表述中,说的是闭区间,而实际上,开区间内连续增(减)函数的反函数也是连续增(减)函数.简单三角函数,,,和指数函数都是连续(增或减)函数,所以它们的反函数、、、和也是连续函数.根据定理1-5、定理1-6和简
7、单初等函数(简单三角函数和它们的反函数)的连续性,则由简单初等函数经过所许可的有限次组合(加、减、乘、除或复合)得到的函数(称为初等函数),在定义域内每一点都是连续的,即它们都是连续函数.特别,一般幂函数作为复合函数是连续函数.因此,求初等函数在定义域内某点处的极限时,极限值就是那一点的函数值.上面说的初等函数是我们以后进行微分和积分运算的主要对象.例12求极限.解(交换次序)【注意】因为,所以点是函数的可除间断点(在点补充函数值后,它就连续了).因此,与可以交换次序,因为对数函数是连续函数.例13求极限.解.2727§
8、1-4连续函数的主要性质【自然对数】以数为底的对数记成(就像以为底的对数记成一样).假若用自然对数,上面的演算就会简单得多,即,(令).尤其在下一章的微分法中,用自然对数比用一般对数好得多.因为,,根据定理1-4,所以(1-1)或(1-2)在下一章中将会用到式(1-1)和(1-2).习题1.求下列极限(根据提示将题做
此文档下载收益归作者所有