§1-4连续函数的主要性质

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1、27§1-4连续函数的主要性质§1-4连续函数的主要性质若函数在开区间内每一点都连续，即在每一点都有则称函数在开区间内是连续函数(图1-17).而称函数在闭区间上是连续函数，除了它在开区间内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]:(右连续)和(左连续)xxb图1-18yxOaxx0yxbOax图1-17在定义域上连续的函数简称为连续函数.读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数.从几何上说，区间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线.根据函数极限的

2、运算规则，能够很容易地证明下面的结论.定理1-5若函数和在点都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分母在点等于]在点也都是连续的.特别，常数与函数的乘积在点当然也是连续的.证证明是简单的.譬如，因为所以商在点是连续的.根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数.函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算.例如，函数[注意，，不是]是由简单指数函数和幂函数复合而成的复合函数.再如，是由简单对数函数、幂函数和简单三角函数，依次复合成的复合函数.一般地，若函数定义在区间上，而函数定义在区间上，且

3、函数的函数值在区间上，则函数就是定义在区间2727§1-4连续函数的主要性质上的函数.称它为由外函数和内函数复合成的复合函数.近代数学中把它记成，即[不是！]若内函数在点连续，而外函数在相应点也连续，则复合函数在点也连续.这是因为，当无限接近时，函数值无限接近，从而函数值就会无限接近.用极限式表示成我们把这个结论叙述成下面的定理：定理1-6若内函数在点连续，而外函数又在点连续，则复合函数在点也连续.【注】根据这个定理，若外函数是连续函数，而且有极限[有限值]，则有（极限记号与函数记号交换次序）例如；再如，(分子分母同除)

4、(与交换次序)区间上的连续函数是一元函数微积分研究的主要对象，因为区间上的连续函数具有许多很好的性质.而这些性质是我们能够证明微积分中许多重要定理的基础.虽然从直观上说，这些性质都是很明显的，可是要证明它们是不容易的(证明在第二篇中).在这些性质中，我们先给出下面几个定理.定理1-7闭区间上的连续函数是有界的(有界性定理)，而且有最大值和最小值[最大(小)值定理].(图1-19)图1-19axbyO2727§1-4连续函数的主要性质xbO①ay②Obayx图1-20定理1-8若函数在闭区间上连续，且，则至少有一点，使(零

5、点定理，图1-20).例10证明：方程至少有一个正根不超过.证令.显然，，而另有足够大的正数使.因此，必有点，使，即正数是方程的根，而且推论若函数在闭区间上连续，且，则介于与之间的任何数，都是函数的函数值，即至少有一点，使.（介值定理）图1-21abxyO证不妨设（图1-21）.作辅助函数则函数在闭区间上连续，且.根据零点定理，至少有一点，使，即.例11设函数在区间内连续，.证明：至少有一点，使[算术平均值,均值定理]证设，则根据介值定理，至少有一点，使2727§1-4连续函数的主要性质图1-22abOyxyx在§0-5

6、中说，增函数(或减函数)有反函数，而且反函数也是增函数(或减函数).另一方面，若是闭区间上的连续增函数，根据介值定理，它的函数值能够充满整个区间，而且它的反函数是区间上的连续增函数(图1-22).同理，若是闭区间上的连续减函数，则它的反函数是区间上的连续减函数.上述结论称为反函数连续性定理.请注意，在反函数连续性定理的表述中，说的是闭区间，而实际上，开区间内连续增(减)函数的反函数也是连续增(减)函数.简单三角函数，，，和指数函数都是连续(增或减)函数，所以它们的反函数、、、和也是连续函数.根据定理1-5、定理1-6和简

7、单初等函数(简单三角函数和它们的反函数)的连续性，则由简单初等函数经过所许可的有限次组合(加、减、乘、除或复合)得到的函数(称为初等函数)，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数.特别，一般幂函数作为复合函数是连续函数.因此，求初等函数在定义域内某点处的极限时，极限值就是那一点的函数值.上面说的初等函数是我们以后进行微分和积分运算的主要对象.例12求极限.解（交换次序）【注意】因为，所以点是函数的可除间断点（在点补充函数值后，它就连续了）.因此，与可以交换次序，因为对数函数是连续函数.例13求极限.解.2727§

8、1-4连续函数的主要性质【自然对数】以数为底的对数记成(就像以为底的对数记成一样).假若用自然对数，上面的演算就会简单得多，即，（令）.尤其在下一章的微分法中，用自然对数比用一般对数好得多.因为，，根据定理1-4，所以(1-1)或(1-2)在下一章中将会用到式（1-1）和（1-2）.习题1.求下列极限（根据提示将题做