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1、§2连续函数的性质在本节中,我们将介绍连续函数的局一、连续函数的局部性质四、一致连续性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质这些性质是具有分析修养的重要标志.部性质与整体性质.熟练地掌握和运用返回一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指:连续(左连续或右连续),则可推知f在点x0的某号性、四则运算的保连续性等性质.个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保故
2、f(x)
3、的一个明确的上界.证注意:我们在证明有界性时,而不是用术语定理4.2（局部有界性）则定理4.3（局部保号性）则对任意一个满足证注在具体应用保号性时,我们经常取于是证得定理4.4（
4、连续函数的四则运算）此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得也是连续函数.我们知道,常函数与线性函数都是R上到,具体过程请读者自行给出.的连续函数,故由四则运算性质,易知多项式函数同理,有理函数(分母不为零)同样是连续函数.下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下定理4.5是不变的.证于是对这个定理我们再作一些讨论,以加深大家对该定请大家仔细观察定理4.5的证明,看看此时究竟哪理的认识.里通不过.应用定理4.5,就得到所(*)式相应的结论仍旧是成立的.则有改为需要的结论.事实上,只要补充定义（或者重新定义）上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢?请读者作
5、例1解合，所以出进一步的讨论.例2解例3解所以均有使得对一切存在,,0DxDxÎÎ在本节中将研究f在二、闭区间上连续函数的性质定义1若点,的最大值不存在,最小值为零.注意:既无最大值,又无最小值.定理4.6（最大、最小值定理）例如,符号函数的最大值为1,最小值为-1;的最大值为1,最小值为-1;函数(其上确界为1,下确界为-1)这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的推论这是因为由定理4.6可知,值,从而有上界与下界,于是f(x)在[a,b]上是有虽然也是连续函数,但是内涵,在今后的学习中有很广泛的应用.界的.这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理4
6、.7（介值性定理）上连续,则(至少)存在一点质有着根本的区别.从几何上看,当连续曲线从水平直线的一侧穿到另一侧时,两者至少有一个交点.推论（根的存在性定理）应当注意,此推论与定理4.7是等价的.于是,只要则至少存在一点使下面用确界定理来证明上述推论,大家要注意学习证明了推论,也就完成了定理4.7证明.确界定理的使用方法.(E为图中x轴上的红证不妨设并设零点.证明如下：的最大值就是函数的线部分)从几何上看,E因为所以又E是有界的,故由确我们来否定下面两种情形:1.由f(x)在点是连续的,根据保号性,存在界定理,存在，显然2.同样根据保号性,同时由x0=supE,
7、对上述d,存在排除了上面两种情形后,就推得由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下下面再举一些应用介值性定理的例题.设在上连续,那么它的最大值M与最结论:小值m存在,并且证先证存在性：由极限的保号使使得(读作r的n次算术根).例3则存在唯一的正数连续，我们只需证明严格递增即可.事实上，即例4求证:再证唯一性:证即任意的实数r,f(x)=r至多有有限个解.证明：证与的解至多为有限个.例5设在区间内满足介值性,并且对于在内连续.1.由介值性条件不难证明：即2.如果解为空集,任意取证不妨设f(x)严格增,那么就是反上连续,且 与f(x)有相同的单调性.定理4.
8、8若函数f(x)在上严格单调且连续,则反函数三、反函数的连续性函数 的定义域.1.(证明见定理1.2).2.(如图所示)①每一②对应③任给⑤取④对应请读者类似地证明该函数在端点的连续性.这就说明了上连续.对于任意的正数且严格增.关于其它的反三角函数均可得到在定义域内连续的结论.例6因此它的反函数上也是连续严格增.例7连续且严在 上亦为连续且格增,那么其反函数在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要只要 就有四、一致连续性任意的正数,使得对任意,存在定义2.设为定义在区间I上的函数,如果对于则称在区间I上一致连续.的概念.首先来看两个例题
9、.例8证证首先我们根据一致连续的定义来叙述f(x)在区例9但仍有确实不是一致连续的.总有间I上不一致连续的定义：试问,函数在区间I上一致连续与在区间I上连续的区别究竟在哪里？仅与有关.对于任意正数,所得答:(1)首先,对于如果在区间I上连续，那么,不仅与有关,而且还与所讨论的点而在区间I上一致连续.那么在例8中显然关.过程中有一个正下界(当然(2)函数f(x)在每一点连续,下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质.区间I上就一致连续了.这个下界只与有关,而与x0无关),则此时f(x)在上连续,则上一致连续.这个定理告诉我们:定义在闭区间上的函数,连例1
10、0设区间的右端点为,区间的左端定理4.
