连续函数的性质(I)

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1、第八节连续函数的性质连续函数的运算性质初等函数的连续性小结思考题作业闭区间上连续函数的性质第二章极限与连续1定理1如,则由于在其定义域内连续.在x0点也连续.一连续函数的运算性质(函数和差积商的连续性)2如,结论:反三角函数在其定义域内皆连续定理2故同理,单调增加且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数.也是单调增加且连续.单调减少且连续.单调增加且连续.单调减少且连续.(反函数的连续性)3定理3(复合函数的连续性)连续函数的复合函数是连续的.设函数即且即则复合函数4定理4基本初等函数在定义域内是连续的.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的.二、初等函数

2、的连续性连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续包含在定义域内的区间51.初等函数仅在其定义区间内连续,如,注在其定义域内不一定连续;2.初等函数求极限的方法注代入法.在x=0点的邻域内没有定义.6例例解解7定义设f(x)在区间I上有定义,使得当恒有若存在点为函数f(x)在区间I上的最小值,记为则称(大)三、闭区间上连续函数的性质8在闭区间上连续的注(1)定理1中的条件“闭区间”和“连续性”定理4(最大值和最小值定理)函数一定有最大值和最小值.是不可少的.9在开区间(0,1)无最大值,如:(1)函数无最大值,无最小值.无最小值.有间断点(2)函数10证由定

3、理4(最值定理),定理5(有界性定理)有取则有11的零点.定理6(零点定理)使得几何意义:如图所示.12几何意义:之间的任何值(不会有任何遗漏).推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值至少有一个交点.13例证由零点定理,注闭区间上连续函数的性质常用于:证明某些等式或判断某些方程根的存在性.14作业习题2.8(66页)1.2.(1)3.4.6.7.提示15四、小结连续函数的和差积商的连续性;复合函数的连续性:初等函数的连续性:求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性;定义区间与定义域的区别;注意条件1.闭区间;2.连续函数．最值定理;有界性

4、定理;零点定理;介值定理.四个定理16