闭区间上连续函数性质的证明(I)

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1、§2闭区间上连续函数性质的证明一、有界性定理二、最大、最小值定理三、介值性定理四、一致连续性定理在闭区间上连续，正数，需应用有限覆盖定理将无限多个邻域转化为有限多个，对应的无限多个正数转化为有限多个，即在无限个邻域内都是有界的，此时有无限多个正数，连续函数具有局部有界性，在上有界．则来证明第四章§2中给出的闭区间上连续函数的基本性质．在本节中,我们将利用关于实数完备性的基本定理有界性定理若函数分析为了能找到一个最大的从而找到最大的一个，完成证明.首页×这就证得在上有界．由有限覆盖定理,存在的一个有限子集显然是的覆盖了,且存在正数,使得对一切一个无限开覆盖,及正数,对每

2、一点都存在邻域使得证［证法一］（应用有限覆盖定理）由连续函数的局部有界性（定理4.2），考虑开区间集有令则对任何必属于某首页×类似地可证在上有下界，利用在点倘若在则对任何正整数,［证法二］（应用致密性定理）上无界，存在使得依次取则得到数列由致密性定理，它含有收敛子列记由及数列极限的保不等式性，连续，推得从而在上有界.所以在上有上界．另一方面，由的选取方法又有这与上式相矛盾．首页×从而将局部有界转化为了整体有界.注1在证法一中，能被有限个邻域覆盖时，中求得最大的一个有限覆盖定理的作用在于当一闭区间可以在有限个区域上的经常在反证法中对选出的有界数列应用致密性定理.注2首页

3、×由有界性定理知即在上有最大值．设是的一个上界，故在上有上界．易见在上连续，倘若不然，对一切都有存在，使的值域有上确界,记为由于已证得在上有界，在上连续，在则定理4.6（最大、最小值定理）若函数在闭区间上有最大值与最小值．分析上有界，由确界原理知有上、下确界，的值域只要证明上下确界分别为最大、最小值即可.证证（应用确界原理）故由确界原理，以下我们证明：令则从而推得但这与为的上确界（最小上界）相矛盾．所以必存在使同理可证在上有最小值.首页×则也是若为介于设函数在闭区间上连续，且定理4.7(介值性定理）与之间的任何实数则存在使得．证［证法一］（应用确界原理）不妨设令连续函

4、数，上的且于是定理的结论转化为：存在使得这个简化的情形称为根的存在性定理（定理4.7的推论）.记显然为非空有界数集故由确界原理，有下确界，记因由连续函数的局部保号性，在内存在使得在内由此可见即首页×当时，记若,则即为所求；将等分为两个子区间即若函数在上连续，但这与矛盾，故必有下证倘若不妨设则又由局部保号性，存在使在其内特别有［证法二］（应用区间套定理）同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，则存在使得若则于是有且当时,记再从区间出发，重复上述过程，得到：或者在的中点上有或者有闭区间，满足，且首页×而由定理7.1的推论，当充分大时有倘若，不妨设则由局部保号性，

5、存在，使在其内有（２）在任一区间的中点上均，则得到闭区间列（１）在某一区间的中点上有，则即为所求；将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：满足且由区间套定理，存在点下证但这与选取时应满足的相矛盾,因而有故必有注上面证法二中的方法是计算方法中用二分法求函数方程的根的理论基础.首页×则在上一致连续．任给，对每一点若函数在闭区间上连续，定理4.9（一致连续性定理）证［证法一］（应用有限覆盖定理）由在上的连续性，都存在使得当时有考虑集合显然是的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在的一个有限子集覆盖了记首页×设，即对任何必属于中某开区间，此时有故由（２）式同时有由此得所以在上一

6、致连续．首页×当取遍所有正整数时，得数列与令（n为正整数），与它相应的两点记为则存在某对任何都存在相应的两点倘若在上不一致连续，［证法二］（应用致密性定理）用反证法．尽管但有尽管但有由致密性定理，存在的收敛子列,且设首页×所以在一致连续.这与相矛盾．同时由又得最后，由（３）式有在上式中令由的连续性及数列极限的保不等式性，得到首页×