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《连续函数的运算和性质(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九节连续函数的运算与性质定理1若函数在点处连续,则在点处也连续.例如,在内连续,故在其定义域内连续.反函数的连续性定理2若函数在区间上单调减少)且连续,则它的反函数也在对应的区间上调减少)且连续.证略单调增加(或单调增加(或单例如,在上单调增加且连续,故在上也是单调增加且连续.同理在上单调减少且连续;在区间内单调增加且连续;反函数的连续性定理2若函数在区间上单调减少)且连续,则它的反函数也在对应的区间上调减少)且连续.证略单调增加(或单调增加(或单同理在上单调减少且连续;在区间内单调增加且连续;反函数的连续性定理2若函数在区间上
2、单调减少)且连续,则它的反函数也在对应的区间上调减少)且连续.证略单调增加(或单调增加(或单同理在上单调减少且连续;在区间内单调增加且连续;总之,反三角函数在它们的定义域内都是连续的.在区间内单调减少且连续.复合函数的连续性意义1.2.定理3设函数在点处连续,且而函数在点处连续,极限符号可以与连续函数符号互换;的理论依据.定理4给出了变量代换定理4若函数在点处连续,则有则复合函数在点处也连续.复合函数的连续性例如,在内连续,在内连续,在内连续.例1求解例2求解例3求解因为所以初等函数的连续性三角函数及反三角函数的;指数函数在内单调
3、且连续;对数函数在内单调且连续;在内连续.讨论的不同值(均在其定义域内连续).在它们的定义域内是连续初等函数的连续性定理5基本初等函数定理6一切初等函数定义区间是指注意1.但在其定义域内不一定连续.例如,在这些孤立点的邻域内没有定义.及在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续,初等函数的连续性在这些孤立点的邻域内没有定义.及在0点的邻域内没有定义,函数在区间上2.定义区间).连续.初等函数求极限的方法(代入法)例4求解因为是初等函数,且是其定义区间内的点,所以在点处连续,于是
4、幂指函数因为故幂指函数可化为复合函数.易见:若则即注意公式成立的条件例5求称为幂指函数.解形如的函数闭区间上连续函数的性质函数的有界性、最大值和最小值定理定义对于在区间上有定义的函数如果有使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值.例如,在上,在上,定理1(有界性和最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.又如,函数定理2.零点定理与介值定理定义如果使则称为函数的零点.零点定理设函数在闭区间上连续,且与异号(即即至少有一
5、点使那么在开区内至少有函数间的一个零点,即方程在内至少存在一个实根.几何解释:MBCAmab证由零点定理,推论在闭区间上连续的函数与最小值之间的任何值.必取得介于最大值例6证证明方程少有一个实根.令则在上连续.又由零点定理,使即方程根在区间内至在内至少有一个实例7证设函数在区间上连续,且证明:使得令则在上连续.而由零点定理,使即
