连续函数的运算及性质

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1、第八节一、最值定理与有界性二、介值定理机动目录上页下页返回结束闭区间上连续函数的性质第二章注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,机动目录上页下页返回结束例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,机动目录上页下页返回结束推论(有界性定理).由定理1可知有证:设上有界.机动目录上页下页返回结束在闭区间上连续的函数在该区间上有界.说明：定理1的条件不满足,结论不一定有,如证:例1.证明:若令则给定当

2、时,有又根据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.机动目录上页下页返回结束定理2.(零点定理)至少有一点且使机动目录上页下页返回结束(证明略)二、介值定理o2)定理提供了判断根的存在性的新方法.说明例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有机动目录上页下页返回结束则则例2.至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.机动目录上页下页返回结束证明：例3设证若

3、记由于因此,若则问题得证.若则由零点存在定理即定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即使至少有机动目录上页下页返回结束（1）开区间内的连续函数（2）闭区间上的不连续函数(仍用此例)。1)介值定理的条件不满足,可能取不到.上严格单调，则介值定理中的唯一；说明3)则f(x)可以取到它最大值M与最小值m之间的一切值.(推论)根据最值定理例4证根据最值定理推论于是上连续,且恒为正,例5.设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或

4、,则有证明:小结目录上页下页返回结束内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在机动目录上页下页返回结束思考与练习机动目录上页下页返回结束证明至少存在使提示:令则易证1.设一点2.设且则在(a,b)内至少有一点c，使得提示:设易证利用零点定理即可得证.3.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知: