连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质

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1、1.9连续函数的运算与初等函数的连续性.闭区间上连续函数的性质一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续,则函数f(x)±g(x),f(x)×g(x),(当时)在点x0也连续.f(x)±g(x)连续性的证明:因为f(x)和g(x)在点x0连续,所以它们在点x0有定义,从而f(x)±g(x)在点x0也有定义,再由连续性和极限运算法则,有.根据连续性的定义,f(x)±g(x)在点x0连续.例1.sinx和cosx都在区间(-¥,+¥)内连续,故由定理3知tanx和cotx在它们的定义域内是连续的.三角函数sinx,cosx,secx,cscx,tanx,cotx

2、在其有定义的区间内都是连续的.二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数x=f-1(y)也在对应的区间Iy={y

3、y=f(x),xÎIx}上单调增加(或单调减少)且连续.证明（略）.8例2.由于y=sinx在区间上单调增加且连续,所以它的反函数y=arcsinx在区间[-1,1]上也是单调增加且连续的.同样,y=arccosx在区间[-1,1]上也是单调减少且连续;y=arctanx在区间(-¥,+¥)内单调增加且连续;y=arccotx在区间(-¥,+¥)内单调减少且连续.总之,反三角函数arcsinx、arccosx、ar

4、ctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的.定理3设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,.若,而函数y=f(u)在连续,则.简要证明要证"e>0,$d>0,当0<

5、x-x0

6、

7、f[g(x)]-f(u0)

8、0,$h>0,当

9、u-u0

10、

11、f(u)-f(u0)

12、0,$d>0,当0<

13、x-x0

14、

15、g(x)-u0

16、

17、f[g(x)]-f(u0)

18、

19、次序.表明,在定理3的条件下,如果作代换u=g(x),那么求就转化为求,这里.把定理5中的x®x0换成x®¥,可得类似的定理.8例3.求.解:.提示:是由与复合而成的.,函数在点连续.=g(x0)定理4设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成,U(x0)ÌDfog.若函数u=g(x)在点x0连续,函数y=f(u)在点u0=g(x0)连续,则复合函数y=f[j(x)]在点x0也连续.证明:因为j(x)在点x0连续,所以j(x)=j(x0)=u0.又y=f(u)在点u=u0连续,所以f[j(x)]=f(u0)=f[j(x0)].这就证明了复合函数f[j(x)]在点x

20、0连续.例4.讨论函数的连续性.解:函数是由y=sinu及复合而成的.sinu当-¥0,a¹1)对于一切实数x都有定义,且在区间(-¥,+¥)内是单调的和连续的,它的值域为(0,+¥).由定理4,对数函数logax(a>0,a¹1)作为指数函数ax的反函数在区间(0,+¥)内单调且连续.幂函数y=xm的定义域随m的值而异,但无论m为何值,在

21、区间(0,+¥)内幂函数总是有定义的.可以证明,在区间(0,+¥)内幂函数是连续的.事实上,设x>0,则y=xm=,因此,幂函数xm可看作是由y=au,u=mlogax复合而成的,由此,根据定理6,它在(0,+¥)内是连续的.如果对于m取各种不同值加以分别讨论,可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.结论:基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.最后,根据初等函数的定义,由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间.初等函数的连续性在求函数极限中的应用:如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的定义区间内

22、的点,则f(x)=f(x0).例5.求.解:初等函数f(x)=在点是有定义的,所以.8例6.求.解:初等函数f(x)=lnsinx在点是有定义的,所以.例7.求.解:.例8.求.解:.例9.求.解:令ax-1=t,则x=loga(1+t),x®0时t®0,于是=.§1.10闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值最大值与最小值:对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有x0ÎI,使得对于任一xÎI都有f(x)£f(x0)