D19连续函数的运算和性质

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1、一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第一章在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。例如,反三角函数在其定义域内皆连续.在上连续其反函数在上也连续单调递增.又如,单调递增,定理3意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解求解:原式例2.求解:原式说明:若则有定理4例如,二、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★基本初等

2、函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例3.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1不连续,三、如何找间断点？（1）初等函数：求定义域,各子区间的边界点（2）分段函数：讨论分段点(1)ƒ(x)在x0是否处有定义？逐步研究：注意：1、初等函数在其定义区间内连续；2、分段函数在其定义域内不一定连续。是可去间断点是无穷远间断点是可去间断点一、最值定理二、介值定理闭区间上连续函数的性质注意:若函数在开区间上连续,结论

3、不一定成立.一、最值定理定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大点,例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,二、介值定理由定理1可知有证:设上有界.定理2.(零点定理)至少有一点且使推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值.例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二

4、分法在区间内至少有则则内容小结例2证由零点定理,内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.内容小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在证明至少存在使提示:令则易证1.设一点习题课思考与练习2、至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.