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时间:2019-11-02
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1、文档§2连续函数的性质【教学目的】掌握连续的局部性质(有界性、保号性),连续函数的有理运算性质,并能加以证明;【教学重点】连续函数的局部性质,闭区间上连续函数的性质。【教学难点】连续函数性质的应用。一连续函数的局部性质若函数f在点连续,则f在点有极限,且极限值等于函数值。从而,根据函数极限的性质能推断出函数f在U()的性态。定理4.2(局部有界性)若函数f在点连续,则f在某U()内有界。定理4.3(局部保号性)若函数f在点连续,且,则任何正数,存在某U(),使得对一切U()有注在具体应用局部保号性时,常取,则()存在某U(),使在其内有。定理4.4(四则运算)若函数
2、和g在点连续,则有(这里)也都在点连续。以上三个定理的证明,都可从函数极限的有关定理直接推得。对常量函数y=c和函数y=x反复应用定理4.4,能推出多项式函数和有理函数(P,Q为多项式)在其定义域的每一点都是连续的。同样,由sinx和cosx在R上连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续。关于复合函数的连续性,有如下定理:定理4.5若函数f在点连续,g在点点连续,,则复合函数在点连续。证由于g在连续,对任给的ε>0,存在,使得当时有(1)文档又由及在点连续,故对上述,存在δ>O,使得当时有.联系(1)得:对任给的ε>O,存在δ>O,当时有这就证明了在
3、点连续。注根据连续性的定义,上述定理的结论可表为例1求.解可看作函数的复合。由(2)式得注若复合函数的内函数f当x→时极限为a,而或在无定义(即为f的可去间断点),又外函数g在u=a连续,则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限,即有(3)读者还可证明:(3)式不仅对于x→这种类型的极限成立,而且对于x→+,x→-∞或等类型的极限也是成立的.例2求极限:解;二闭区间上连续函数的基本性质定义1设f为定义在数集D上的函数。若存在∈D,使得对一切x∈D有文档则称f在D上有最大(最小)值,并称为在D上的最大(最小)值。例如,sinx在[0,]上有最大值1,最小值0。但一般而言
4、,函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使在D上有界)。如f(x)=x在(0,1)上既无最大值也无最小值,又如(4)它在闭区间[O,1]上也无最大、最小值。下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件。定理4.6(最大、最小值定理)若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有最大值与最小值。此定理和随后的定理4.7以及本节最后的定理4.9,其证明将在第七章§2给出。在这里读者先对这些定理有所了解,并能初步运用它们。推论(有界性定理)若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有界。易见由(4)式给出的函数g在闭区间[O,1]上无界,请读者
5、考虑为什么对函数g上述推论的结论不成立。定理4.7(介值性定理)设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b).若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)<μμ>f(b)),则至少存在一点∈(a,b),使得这个定理表明,若f在[a,b]上连续,又不妨设f(a)6、)=0在(a,b)内至少有一个根。这个推论的几何解释如图4-3所示:若点A(a,f(a))与B(b,f(b))分别在x轴的两侧,则连结A、B的连续曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点。应用介值定理,我们还容易推得连续函数的下述性质:若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间;特别,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M];又若f为[a,b]上的增(减)连续函数且不为常数,则f([a,b])=[f(a),f(b)]([f(b),f(a)]).下面举例说明介值性定理的应用。例3证明:若r>0,n为7、正整数,则存在唯一正数,使得(称为r的n次正根(即算术根),记)。证先证存在性.由于x→+∞时有,故必存在正数a,使得.因在[0,a]上连续,并有f(0)
6、)=0在(a,b)内至少有一个根。这个推论的几何解释如图4-3所示:若点A(a,f(a))与B(b,f(b))分别在x轴的两侧,则连结A、B的连续曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点。应用介值定理,我们还容易推得连续函数的下述性质:若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间;特别,若I为闭区间[a,b],f在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M];又若f为[a,b]上的增(减)连续函数且不为常数,则f([a,b])=[f(a),f(b)]([f(b),f(a)]).下面举例说明介值性定理的应用。例3证明:若r>0,n为
7、正整数,则存在唯一正数,使得(称为r的n次正根(即算术根),记)。证先证存在性.由于x→+∞时有,故必存在正数a,使得.因在[0,a]上连续,并有f(0)
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