可测函数的充要条件

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1、可测函数的充要条件摘要本文从集E(m)的对测性以及用简单函数与连续函数逼近，给HITnJ'测函数的等价条件，揭示了可测函数的结构。关键词可测函数；简单函数；连续函数可测函数是实变函数论屮的一个重要概念，是建立勒贝格积分的基础。对于可测函数，我们给出了如下的定义：定义1设f(x)是可测集E定义的实函数(其值可取±8),如果对于任意实数a,玖Qa)恒为可测集，则称f(x)为E上的可测函数。首先，我们利用集的可测性给出函数可测性条件。定理1设f(x)是可测集E定义的实函数，下列任一条件都是f(x)在E上的可测的充要条件：(1)对于任意实数a,E(f^a

2、)都可测;(2)对于任意实数a,E(fa)对于E也是互余的，故在三个条件中，只许证(1)的充要性。事实上，易知8181E(f>a)=jE(f>a+~)由第一式一列可测集的交仍为可测集知f(x)可测吋条件(1)成立，由第二式一列可测集的并仍为可测集知条件(1)成立时f(x)可测。英次，我们利用简单函数逼近的方法给出函数可测性条件。为此,先给出简单函数的定义：定义2设f(x)是定义在可测集上的实函数。如果E可分解为有限个互

3、不相交的可测集El,E2,…，的并,并且f(x)在每一个Ei(i=l,2,…，n)上都取常数值，则称f(x)是E上的简单函数。容易知道,可测集E上的简单函数恒为可测函数。不仅如此，我们还有：定理2f(x)在E上可测当且仅当存在E上简单函数序列{fn(x)},使得o证明若f(X)是E上的可测函数。(1)f(x)20的情形。对于每一个自然数n,将［0,n］分成2“等分，贝悔一小段长1/2；令当xwE(%〃

4、一个门然数n,xoeE(f^n),故有。fn(xn)=n,因此limA(^o)=/(^o)=+o°“T8若f(xjv+oo,则存在自然数N,使得f(xO)

5、/(XoKo)

6、v*limA(xo)=/(^o)"T8设f(x)=f+(x)-f-(x)，其中f+(x)与f-(x)分别为f(x)的正部与负部，由于f(X)与f■(x)f+(x)与f-(x)都是非负函数,按照(1)中的办法，可分别对于广(X)与f「(x)作出相应的函数列f(x)｝与｛「(X)｝,使得limf；⑴=/+W

7、4im£3=TW幵一>8HT8=(n=l?2……)现令因为集E(f>0)与E(f>0)互不相交,所以有限个集kk+1E严E(刁5.厂5亍)("0,1••…,2—1)En2,.=E(f+>n)£；=E(An)都互不相交,他们的并集是E,并且在每个Ek±,fn(x)=fn+(x)-fn(x)=^在每个Ek上,，•九寺故fn(x)是E上的简单函数，且limAW=limk+（兀）・仁（』=f+M-f^）=fM〃T8Z7T8反之，若存在E上的简单函数列{fn(x)},使得lim/dS）HT8则对任意实数a,有e（/

8、E（A<-^）〃戶1jt=ln=m尽由于简单函数都是可测的，所以每一个)都是可测集，从而E(fWa)是可测集，即得f(x)是E上的可测函数。最后，我们从考察连续函数与可测函数的关系出发，进而给出可测函数可以作为连续函数序列的概收敛的极限函数。定义3f(x)在EuR"上有定义，x°wE,瞧)有限，若对0£〉0,为>0,当XGE,X—Xo

9、v/时，

10、f(x)-f(xo)v£,则称f(x)在X。点在E上连续,若f(x)在E上每一点都连续，则称f(x)在E上连续。定理3可测集EuR"上的连续函数是E上的可测函数。证明对任意的实数a,设xeE[f>a],由

11、于函数f(x)在E上连续，则存在x的某邻域N(x),使得N(x)n£czE[f>a]G=UN(x)令矗気刻，则G是开集，且GcN=UN(x)cE=U[?V(x)nE]a](XwE[f>a])XGE[f>a]■反之，由于GnE[f>a],有£(f>a]uEc£(f>a]czGn£)从而，GnE=E[f>a]■说明E[f>a]可表示为两个可测集Z交，故可测，因此E上的连续函数f(x)是E上的可测函数。定理4设f(x)是可测集E上的儿乎处处有限的实函数，则f(x)在E上是可测函数的充分必耍条件是对任意的£>0,存在闭集FE,使得m(E-F)

12、<£,且f(x)在F上是连续函数。证明必要性是鲁津定理:设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，对任意的8>0,存在闭子集他ue,使f(