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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§3可测函数的构造已知可测集上的连续函数一定是可测函数,反之,可测函数是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）连续的函数,即下列定理：定理1（Lusin定理）设f(x)是E(不要求mE)上a.e.有限的可测函数,则对0,存在闭子集EE,使f(x)在E上是连续函数,且m(EE),即在E上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函数。证明（1）设f(x)是简单函数。n设EEi,各Ei可测且互不相交,f(
2、x)ci,xEi。i10,由Ei可测,知存在闭子集FiEi,且m(EiFi)。nn令EFi,则E为闭集,且EE,i1nnm(EE)m(UEiUFi)i1i1nnnm(U(EiFi))m(EiFi)ni1i1i1(由于EiFi互不相交,所以有限多个闭集之并仍为闭集)。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n对x0EUFi,i0,使得i1x0Fi0,f(x0)ci0。因为Fi互不相交,所以x0UFi,故ii0x0C(UFi)（开集），ii0所以x
3、0的一个邻域U(x0)C(Fi),故有ii0U(x0)(Fi),ii0所以U(x0)EU(x0)Fi0，当xU(x0)IE时,f()f(x0)ci00，xci0故f(x)在E上连续。（2）设mE,f(x)为可测函数。由f(x)可测知,存在一列简单函数{n(x)},使得f(x)limn(x)。n由mE及叶果洛夫定理知,0,一定存在可测子集E0*E，使得n(x)一致收敛于f(x),（在E0*上）,且2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯m(EE0
4、*)。2对每个i(x),由(1)知,闭子集EiE0*,使得i(x)在Ei上连续,且m(E0*Ei)2i1。令EEi,则E闭，且EE(EE0*)U(E0*E)(画图)i1m(EE)m((EE0*)U(E0*E))m(EE0*)m(E0*E)2m(U(E0*Ei))i12m(E0*Ei)i12i12i1。由n(x)在En上连续,知n(x)在E上连续。又n(x)在E(E0*)上一致收敛于f(x),故f(x)在E上连续。(3)设mE,f(x)为可测函数，则EUEi，i1其中Ei(i1,2,L)互不相交且有界可
5、测。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由f(x)在E上可测,故f(x)在Ei上可测。又mEi,由（2）可知闭子集EiEi,f(x)在Ei上连续，且m(EiEi)2i(i1,2,L）。令EEi,则i1m(EE)m(UEiUEi)i1i1m(U(EiEi))(因为UEiUEiU(EiEi))i1i1i1i1m(EiEi),i1且E为闭集（利用互不相交的闭集的并是闭集）。下证f(x)在E上连续。x0E,i,使得x0Ei,由f(x)在Ei上连续,
6、知U1(x0),当xU1(x0)IEi时,有f(x)f(x0)。又UEl,Ei为互不相交的li闭集，所以x0CUEl,因此又存在邻域U2(x0)CUEl。令liliU(x0)U1(x0)IU2(x0)，4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯则当xU(x0)IEU(x0)IEiU1(x0)IEi时，有f(x)f(x0)注1上述证明方法值得注意。先考虑简单函数，然后再往一般函数过渡，这在许多场合下是行之有效的方法。注2鲁津定理使我们对可测函数的结
7、构有了进一步的了解，它揭露了可测函数与连续函数的关系。在应用上通过它常常可以把有关的可测函数问题归结为连续函数的问题。注3有的著者用鲁津定理所反映的重要性质来定义可测函数,事实上这两种定义是等价的,因为鲁津定理的逆命题也是成立的。再给出鲁津定理的另一种形式。定理2设f(x)是ER1上a.e.有限的可测函数,则对0,存在闭集FE及整个R1上的连续函数g(x)（F及g(x)依赖于）,使在F上f(x)g(x),且m(EF),此外还可要求supg(x)supf(x)及infg(x)inff(x)。R1FR1F
8、证明由定理1,存在闭集FE,使f(x)在F上连续且m(EF)。现在的问题在于把闭集F上的连续函数延拓成整个R1上的连续函数。因为R1F为直线上的开集,故R1FU(ai,bi),i1所以令5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f(x),xF,f(ai)f(bi)f(ai)(xai),x(ai,bi),ai,bi有限,g(x)biaif(ai),x(ai,bi),bi,f(bi),x(ai,bi),
