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《第四节 可测函数的收敛性（续） 实变函数课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节可测函数的收敛性（续）第四章可测函数各种收敛定义依测度收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛:去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛几乎处处收敛:几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）引理：设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，（Lebesgue定理）设mE<+∞，fn，f在E上几乎处处有限且可测，叶果洛夫定理的证明引理：mE<+∞对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明引理：
2、mE<+∞下证明由(3)推出(2)对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue定理的证明的说明Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明引理：mE<+∞下证明由(4)推出(3)对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明注：叶果洛夫定理的逆定理成立注：a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE<+∞或mE=+∞，几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛:去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛另外显然fn(x)在上点点收敛于f(x)所以fn(x)在E上a.e.收敛于f(x)证明：由条件知,存在可测集使且fn(x)在En上一致收敛于f(x)
3、，当然fn(x)在En上点点收敛于f(x)叶果洛夫定理的逆定理注:b.叶果洛夫定理中条件mE<+∞不可少不几乎一致收敛:去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上任不一致收敛几乎一致收敛:去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛n例在R+上处处收敛于f(x)=1,但fn不几乎一致收敛于f于R+注：c.叶果洛夫定理中的 结论me<δ不能加强到me=01-δ去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛，但去掉任意零测度集，在留下的集合上仍不一致收敛。例：函数列fn(x)=xnn=1,2,…,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛；注：c.叶果洛夫定理
4、中结论me<δ不能加强到me=0设fn(x)=xn,x∈(0,1）,则fn(x)处处收敛于f(x)=0，但fn(x)不一致收敛于f(x)，即使去掉任意一零测度集，在留下的集合上fn(x)仍不一致收敛于f(x)。说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合(0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列{xn},使得收敛到1，故：从而E-e上fn(x)不一致收敛于f(x)叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞叶果洛夫逆定理收敛间的关系依测度收敛 但处处不收敛01f1f601/4½3/4101/4½3/4101/4½3/4101/4½3/41f7f5f40½1f30½
5、1f201/81/4½1依测度收敛 与点点收敛010½101/4½3/4101/81/4½1叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue定理mE<+∞叶果洛夫逆定理子列Riesz定理Riesz定理若于E,则必有{fn}的子列{fnk}，使得子列引理：mE<+∞Lebesgue定理的证明叶果洛夫定理的证明收敛间的关系Riesz定理（(6)到(1)的关系）我们只需证(5)到(3)的关系Riesz定理的证明证明：对Riesz定理证明的说明：其实从证明中的(*)式我们可看出从而可取得n10，,有依测度收敛的等价描述令mE<+∞，则对{fn}的任意子
6、列{fnk},存在{fnk}的子列{fnki}，使得证明：（必要性）任取{fn}的子列{fnk}，由于当然有由Riesz定理知，存在{fnk}的子列{fnki}，使得⒋依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）注：(1),(2),(4)当mE=+∞时,也成立；条件mE<+∞对(3)来说不可少.定理：令mE<+∞，，则(1)若又有,则f(x)=h(x)a.e.于E。设{fn}与{gn}是E上几乎处处有限的可测函数列,于E，于E,则于E注:(1),(4)的证明类似，只要利用证明：由于故这与（*）式矛盾，所以证明：假设不成立，则条件mE<+∞对(3)来说不可少注：令，则gn不依测度收敛于g
7、注：上述结果的证明也可通过依测度收敛的等价描述证明任取{fngn}的子列{fnkgnk}，找{fnkgnk}的子列{fnkignki}使得例设但不依测度收敛于f2于R
