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《4.1实变函数与泛函分析--可测函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节可测函数的定义及性质第四章可测函数新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”问题：怎样的函数可使Ei都有“长度”(测度)?1.可测函数定义结论1.零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若可测，则称f(x)是E上的可测函数2.可测函数的等价描述证明：利用(1)与(4),(2)与(3)互为余集，及TH1：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测对前面等式的说明([a-1/na([aa+1/n结论2.简单函数是
2、可测函数可测函数注2：Dirichlet函数是简单函数01若(Ei可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值ci，则称f(x)是E上的简单函数；3.可测函数常见类TH2.可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，()()()f(x)在处连续(对闭区间端点则用左或右连续)设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在处连续可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数证明：任取x∈E[f>a],则f(x)>a,由连续性假设知，()x０f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa则G为开集，当然为可测集，且例1.[a,b]上的连续函数和单调函数
3、都为可测函数。P79.4.可测函数的性质th3.可测函数关于子集、并集的性质(2).若,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。即(1)若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；⑵th4.可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x),1/g(x),cg(x),
4、g(x)
5、仍为E上的可测函数。a-g(x)rf(x)（可见p80证法）类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则为可测集。证明中利用了Q是可数集和R中的
6、稠密集两个性质a-g(x)rf(x)若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)g(x)仍为E上的可测函数。再利用f(x)g(x)={(f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))2}/4即可证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R⑶TH5.可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。例1：R1上的可微函数f(x)的导函数f`(x)是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f`(x)是一列连续函数（当然是可测
7、函数）的极限，故f`(x)是可测函数.证明：由于gn(x)例2.设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.注意：函数列收敛与函数列收敛于f的不同.证明：发散点全体为收敛点全体为5.可测函数与简单函数的关系可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限MmMmP82.函数的正部与负部.可测函数与简单函数的关系注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛Th7.若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到例3：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。证明：要证f(g(x))
8、是可测函数，只要证对任意a，E[fg>a]={x
9、f(g(x))>a}可测即可,g可测f连续{x
10、f(g(x))>a}=(fg)-1((a,+∞))=g-1(f-1((a,+∞)))f-1((a,+∞))=例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f(g(x))不一定是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》，周民强，p114)证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，m(E[fg>a])={x
11、f(g(x))>a}可测即可,由于f在R上连续，故F[f
12、>a]为R中的开集，又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令再由g可测，可知例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。注：另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数的极限因为f(x)连续，故所以f(g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数若m(E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almosteverywhere）6：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E1=E[f≠g]，E2=E[f=g]，则m
