实变函数与泛函分析答案

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1、试卷一（参考答案及评分标准）一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．2、；；3、4、充要5、成一有界数集。三、1．错误……………………………………………………2分例如：设是上有理点全体，则和都在中稠密………………………..5分2．错误…………………………………………………………2分例如：设是集，则，但c，故其为不可数集……………………….5分3．错误…………………………………………………………2分例如：设是上的不可测集，则是上的可测函数，但不是上的可测函数………………………………………………………………..

2、5分4．错误…………………………………………………………2分…5分四、1．在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分因为是有界可测函数，在上是可积的…6分因为与相等，进一步，…8分2．解：设，则易知当时，…………………………..2分又因，()，所以当时，………………4分从而使得…………………………………6分但是不等式右边的函数，在上是可积的，故有…………………………………8分五、1．设…………………………2分……………………………….3分…………..5分………

3、………………………………………6分2．……….2分………………………………………….3分…………………………………………………………5分…………………………………………………….6分3.对，，使对任意互不相交的有限个当时，有………………2分将等分，使，对，有，所以在上是有界变差函数……………………………….5分所以从而，因此，是上的有界变差函数…………………………………………………………..6分4、在上可积……2分据积分的绝对连续性，，有………………………………………………….4分对上述，从而，即……………

4、……6分5．存在闭集在连续………………………………………………………………2分令，则在连续…………………………………………………………4分又对任意,…………………………………………….6分故在连续…………………………..8分又所以是上的可测函数，从而是上的可测函数………………………………………………………..10分