实变函数与泛函分析要点

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1、实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。3、会求已知集合的并、交、差、余集。4、了解对等的概念及性质。5、掌握可数集合的概念和性质。6、会判断己知集合是否是可数集。7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。8、了解半序集和Zorn引理。第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。3、掌

2、握开核、导集、闭区间的概念及其性质。4、会求己知集合的开集和导集。5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。7、了解Peano曲线概念。主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2中T1聚点原则：P0是E的聚点P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0（n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2中T2、T3T2：设A⊂B，则A⊂B，⊂，⊂。T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T

3、1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和都是闭集。（Ė称为开核，称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F（即FсUi），则ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F⊂Ui）（iєI）4、开

4、（闭）集类、完备集类。开集类：Rⁿ，Φ，开区间，邻域、Ė、Pо闭集类：Rⁿ，Φ，闭区间，有限集，E΄、E、P完备集类：Rⁿ，Φ，闭区间、P28二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。第三章测度论基本要求：1、理解外测度的概念及其有关性质。2、掌握要测集的概念及其有关性质。3、掌握零测度集的概念及性质。4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。5、会利用本章知识计算一些集合的测度。6、掌握“判断集合可测性”

5、的方法，会进行有关可测集的证明。要点归纳：外测度：①定义：E⊂RⁿIi（开区间）IiכEm*（E）=inf│Ii│②性质：(1)0≤m*E≤+∞（非负）（2）若AсB则m*A≤m*B（单调性）（3）m*（Ai）≤m*Ai（次可列可加性）③可测集：E⊂Rⁿ对任意的TєRⁿ有：m*（T）=m*（T∩E）+m*（T∩CE）称E为可测集，记为mE其性质：1）T1：E可测A⊂EB⊂CE使m*（A∪B）=m*A+m*B2）T2：E可测CE可测④运算性质：设S1、S2可测⇒S1∪S2可测（T3）；设S1、S2可测⇒

6、S1∩S2可测（T4）；设S1、S2可测⇒S1-S2可测（T5）。⑤S1、S2…Sn可测⇒∪Si可测（推论3）∩Si可测（T7）⑥S1、S2…Sn…可测，Si∩Sj=φ⇒∪Si可测m(∪Si)=∑m(Si)(T6)⑦Si递增,S1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪Si)=limmSi=Ms(T8)⑧Si递降可测,S1כS2כS3כ…当mS1<+∞⇒limm(∩Si)=limmSn(T9)⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0，1]∩Q、Ф、P零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。

7、2）区间是可测集mI=│I│3）开集、闭集；4）Borel集定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集如[-1，1]；设F可表为一列闭集之并，则称为Fσ型集，如[0，1]Borel集定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。T6：设E是任一可测集，存在Gδ集，使E⊂G，且m（G-E）=0T7：设E是任一可测集，存在Gσ集，使F⊂E，且m（F-E）=0可测集是存在的。第四章可测函数基本要求：1、掌握可测函数的概念和主要性质。2、28掌握点集上的连续函数、简

8、单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…）的概念。1、掌握一批可测函数的例子。2、掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。3、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。4、了解依测度收敛的概念及其性质。5、理解三种收敛之间的关系。(一)基本概念1可测函数：ƒ是定义在可测集ERⁿ上的实函数，任意的α∈RE[ƒ>α]是可测集，称ƒ（x）是E上的可测函数ƒ可测⇔任意的α∈RE[ƒ≧α]是可测集⇔任意的α∈RE[ƒ<α]是可测集⇔任意的α∈