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时间:2018-04-15
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1、实变函数与泛函分析论文姓名许安琪专业数学与应用数学学号2013230407922016.10.24题目:勒贝格积分对比黎曼积分的优越性摘要:黎曼积分与勒贝格积分之间有许多的相同之处,而勒贝格积分比黎曼积分要优越许多,不仅是从它们的定义上看,本文从多种角度论述了黎曼积分与勒贝格积分的不同点与相似点,举出了很多的题目和例子,根据形象的对比得出了勒贝格积分比之黎曼积分的优越性。关键词:定义联系区别可积性正文:一、定义的区分:1.黎曼积分的定义:(1)区间的分割一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x02、xi+1]叫做一个子区间。定义λ为这些子区间长度的最大值:λ=max(xi+1−xi),其中0≤i≤n-1。再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x03、voidfunction(e,t){for(varn=t.getElementsByTagName("img"),a=+newDate,i=[],o=function(){this.removeEventListener&&this.removeEventListener("load",o,!1),i.push({img:this,time:+newDate})},s=0;s4、:e.attachEvent&&e.attachEvent("onreadystatechange",function(){"complete"==e.readyState&&o.call(e,o)})}();alog("speed.set",{fsItems:i,fs:a})}(window,document);精细化分割:设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割,y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n,都存在r(i)使得xi=yr(i),并存在使得ti=sj,那么就把分割:y0,...,5、ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。(2)黎曼和对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f,f关于取样分割x0,...,xn-1、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式:和式中的每一项是子区间长度xi+1−xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说,就是以标记点ti到X轴的距离为高,以分割的子区间为长6、的矩形的面积。2.勒贝格积分的定义:设f(x)是E∈Lq(mE<∞)上的有界函数,则称f(x)∈L(E),如果对任意ε>0,必然存在E的分划D,使S(D,f)-s(D,f)=ΣωimEi;这里S(D,f)及s(D,f)分别是f(x)关于分划D的大和及小和,ωimEi是Ei上的振幅。varcpro_psid="u2572954";varcpro_pswidth=966;varcpro_psheight=120;由上述定义可以看出,勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分;后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:7、“假如我欠人家一笔钱,要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想;如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。”从理论实际上来说,黎曼积分定义下的函数类太小,而勒贝格积分就完美的解决了这一问题。二、勒贝格积分与黎曼积分的联系:而根据上述的定义可以看出,对于定义在某以特定区间[a,b]内的函数f(x),如果它是黎曼可积的,则它必然也是勒贝格可积的,而且在这种情况下,它有相同的积分值。所以我们在平时的解题中,为方便起见,先考虑函数是否黎曼可积,
2、xi+1]叫做一个子区间。定义λ为这些子区间长度的最大值:λ=max(xi+1−xi),其中0≤i≤n-1。再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x03、voidfunction(e,t){for(varn=t.getElementsByTagName("img"),a=+newDate,i=[],o=function(){this.removeEventListener&&this.removeEventListener("load",o,!1),i.push({img:this,time:+newDate})},s=0;s4、:e.attachEvent&&e.attachEvent("onreadystatechange",function(){"complete"==e.readyState&&o.call(e,o)})}();alog("speed.set",{fsItems:i,fs:a})}(window,document);精细化分割:设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割,y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n,都存在r(i)使得xi=yr(i),并存在使得ti=sj,那么就把分割:y0,...,5、ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。(2)黎曼和对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f,f关于取样分割x0,...,xn-1、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式:和式中的每一项是子区间长度xi+1−xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说,就是以标记点ti到X轴的距离为高,以分割的子区间为长6、的矩形的面积。2.勒贝格积分的定义:设f(x)是E∈Lq(mE<∞)上的有界函数,则称f(x)∈L(E),如果对任意ε>0,必然存在E的分划D,使S(D,f)-s(D,f)=ΣωimEi;这里S(D,f)及s(D,f)分别是f(x)关于分划D的大和及小和,ωimEi是Ei上的振幅。varcpro_psid="u2572954";varcpro_pswidth=966;varcpro_psheight=120;由上述定义可以看出,勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分;后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:7、“假如我欠人家一笔钱,要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想;如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。”从理论实际上来说,黎曼积分定义下的函数类太小,而勒贝格积分就完美的解决了这一问题。二、勒贝格积分与黎曼积分的联系:而根据上述的定义可以看出,对于定义在某以特定区间[a,b]内的函数f(x),如果它是黎曼可积的,则它必然也是勒贝格可积的,而且在这种情况下,它有相同的积分值。所以我们在平时的解题中,为方便起见,先考虑函数是否黎曼可积,
3、voidfunction(e,t){for(varn=t.getElementsByTagName("img"),a=+newDate,i=[],o=function(){this.removeEventListener&&this.removeEventListener("load",o,!1),i.push({img:this,time:+newDate})},s=0;s4、:e.attachEvent&&e.attachEvent("onreadystatechange",function(){"complete"==e.readyState&&o.call(e,o)})}();alog("speed.set",{fsItems:i,fs:a})}(window,document);精细化分割:设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割,y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n,都存在r(i)使得xi=yr(i),并存在使得ti=sj,那么就把分割:y0,...,5、ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。(2)黎曼和对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f,f关于取样分割x0,...,xn-1、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式:和式中的每一项是子区间长度xi+1−xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说,就是以标记点ti到X轴的距离为高,以分割的子区间为长6、的矩形的面积。2.勒贝格积分的定义:设f(x)是E∈Lq(mE<∞)上的有界函数,则称f(x)∈L(E),如果对任意ε>0,必然存在E的分划D,使S(D,f)-s(D,f)=ΣωimEi;这里S(D,f)及s(D,f)分别是f(x)关于分划D的大和及小和,ωimEi是Ei上的振幅。varcpro_psid="u2572954";varcpro_pswidth=966;varcpro_psheight=120;由上述定义可以看出,勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分;后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:7、“假如我欠人家一笔钱,要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想;如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。”从理论实际上来说,黎曼积分定义下的函数类太小,而勒贝格积分就完美的解决了这一问题。二、勒贝格积分与黎曼积分的联系:而根据上述的定义可以看出,对于定义在某以特定区间[a,b]内的函数f(x),如果它是黎曼可积的,则它必然也是勒贝格可积的,而且在这种情况下,它有相同的积分值。所以我们在平时的解题中,为方便起见,先考虑函数是否黎曼可积,
4、:e.attachEvent&&e.attachEvent("onreadystatechange",function(){"complete"==e.readyState&&o.call(e,o)})}();alog("speed.set",{fsItems:i,fs:a})}(window,document);精细化分割:设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割,y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n,都存在r(i)使得xi=yr(i),并存在使得ti=sj,那么就把分割:y0,...,
5、ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。(2)黎曼和对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f,f关于取样分割x0,...,xn-1、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式:和式中的每一项是子区间长度xi+1−xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说,就是以标记点ti到X轴的距离为高,以分割的子区间为长
6、的矩形的面积。2.勒贝格积分的定义:设f(x)是E∈Lq(mE<∞)上的有界函数,则称f(x)∈L(E),如果对任意ε>0,必然存在E的分划D,使S(D,f)-s(D,f)=ΣωimEi;这里S(D,f)及s(D,f)分别是f(x)关于分划D的大和及小和,ωimEi是Ei上的振幅。varcpro_psid="u2572954";varcpro_pswidth=966;varcpro_psheight=120;由上述定义可以看出,勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分;后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:
7、“假如我欠人家一笔钱,要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想;如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。”从理论实际上来说,黎曼积分定义下的函数类太小,而勒贝格积分就完美的解决了这一问题。二、勒贝格积分与黎曼积分的联系:而根据上述的定义可以看出,对于定义在某以特定区间[a,b]内的函数f(x),如果它是黎曼可积的,则它必然也是勒贝格可积的,而且在这种情况下,它有相同的积分值。所以我们在平时的解题中,为方便起见,先考虑函数是否黎曼可积,
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