实变函数与泛函分析33

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1、第三节可测集的结构第三章测度论注：开集、闭集既是型集也是型集；有理数集是型集，但不是型集；无理数集是型集，但不是型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）例区间是可测集，且注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p662.可测集与开集、闭集的关系即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。证明：若(1)

2、已证明，由Ec可测可知取F=Gc，则F为闭集(1).若E可测，则证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知从而（这里用到mE<+∞）对每个Ei应用上述结果(2)当mE=+∞时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：例证明：对任意的1/n，例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。开集:(0,1)闭集：开集：闭集：空集3.可测集与集和集的关系可测集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。(2).若E可测，则存在型集H,使(1).若E可测，则存

3、在型集O,使(1).若E可测，则存在型集O,使(2).若E可测，则存在型集H,使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取H=Oc，则H为型集，且(1).若E可测，则存在型集O,使证明：对任意的1/n，例：例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的型集或型集。设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一零测度集的型集或型集。注：上面的交与并不可交换次序类似可证：证明:由外测度定义知第四节不可测集存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73;1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）存在不是Borel集的可测集（利用C

4、antor函数和不可测集构造）参见：《实变函数》周民强,p87