实变函数与泛函分析答案初级

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1、山东农业大学数学与应用数学专业考试必备！！一、5．设为集列，，证明（i）互相正交（ii）证明：（i）；不妨设n>m，因为，又因为，所以，故，从而相互正交.（ii）因为，有，所以，现在来证：当n=1时，；当时，有：则事实上，，则使得，令则，其中，当时，，从而，6．设是定义于E上的实函数，a为常数，证明：（i）=(ii)=证明：（i）且反过来，，使即故所以故1210．证明：中坐标为有理数的点是可数的。证明：设Q为有理数集，由定理6：Q是可数的。现在证：可数，因为是可数个有理数集的并，故可数，又因为并且，所以可数故可数14．证明

2、：可数集的有限子集的全体仍是可数证明：设Q为可数集，不妨记为：,令则为有限集（），则为正交可数集，即又因为，所以，故A是Q上一切有限子集的全体。27.试用Borel有限覆盖定理证明：Bolzano-Weiestyass定理（P24定理4，若是是一个有界无穷点集，则）.证明：设是中的有界无穷点集，如果，则，，使得，则.由Borel有限覆盖定理，，有，从而===，这与为无穷集矛盾，从而.29.可数个开集的交称为型集，可数个闭集的并称为型集.证明：有理数集不是型集，但是型集.证明：设为中全体有理数所构成的集合.如果是型集，即，1

3、2其中是开集，由开集的结构，，，其中是互不相交的开区间.不是一般性，设这是，必有（1）事实上，如果，即为有理数，.因为，，故，这与矛盾.(2),如果，.则.因此，，有.这有：这是一矛盾.(3).事实上，若，则为有限实数，，使得，，故，这也是一矛盾.为可数集，这与矛盾.因为在中单点集是闭集，所以，令，则为闭集，所以，故为型集.31.假设，且对任意，存在的一个-领域，使得最多只有可数个点，证明：必有有限级或可列集.证明：因为，使得是一个至多可数集，而由24题，使得：12又.即至多可数.二、2.证明：若是有界集，则.证明：若是有

4、界.则常数，使，有，即，有，从而.所以3.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？解：不能.事实上，设，中有一个内点.,使得.则所以.7.证明：对任意可测集，下式恒成立..证明：且故.即又因为.且，所以故，从而9.设，，是中的两个可测集，且，证明：12证：=.所以又因为===+].所以=因为.所以.11.设是中的不可测集，是中的零测集，证明：不可测.证明：若可测.因为，所以.即.故可测.从而可测，这与不可测矛盾.故不可测.12.若是中的零测集，若闭集是否也是零测集.解：不一定，例如：是中的有理数的全体..,但.13.证明：

5、若是可测集，则，存在型集，型集，使，证明：由P51的定理2，对于，存在型集，使得.由得可测性，.则..即，.12再由定理3，有型集使得.且三、2.设是上的函数，证明：在上的可测当且仅当对一切有理数，是可测集.证：，取单调递减的有理数序列使得，则.由每个}的可测性，知可测.从而，在上的可测.设在上的可测，即，可测.特别地，当时有理数时，可测.4.设是上的可测函数，证明：在上可测.证明：，因为在上可测.所以是可列集.即可测.从而在上可测.7.设是上的可测函数，证明：（i）对上的任意开集，是可测集；(ii)对中的任何开集，是可测

6、集；（iii）对中的任何型集或型集，是可测集.证：（i）当时中有界开集时，由第一章定理11（P.30），是至多可数个互不相交的开区间的并，即.由在上哦可测性，知：每个可测，从而可测.若是的误解开集，，记，则是中有界开集，且，故.故由得可测性，知可测.(ii)设是中的任一闭集，记是中开集.=12，即.由与得可测性，知，可测.（iii）设，分别为中型集和型集.即，存在开集列，闭集列使得，从而，且.由与的可测性，知与均可测.14.设,是上的两个可测函数序列，且，，都是上的有限函数证明：（i）是上可测函数（ii）对于任意实数，，证

7、明：（i）因为，是可测函数列，由定理，有一个子列，使得.再由P62性质4，是在可测，同理，在可测.（ii）先证：当时，，有.事实上，当时，，.所以.当时，因为，故.从而.再证：.事实上，，.12.所以：.四、1．设是上的可积函数，如果对于上的任意可测子集，有，试证：，证明：因为，而，.由已知，.又因为，所以，.故,,从而.即，，.2.设，都是上的非负可测函数，并且对任意常数，都有，试证：，从而，.证明：我们证，是同一个简单函数序列的极限函数.及，令，并且12.则是互不相交的可测集，并且，定义简单函数.下面证明：，.,若，则

8、，，所以，即；若，则可取正整数，时,.故，存在，.即，，.所以，，从而，.同理，，定义简单函数列，其中：，..同上一样可证明：，.因为，有.故，.从而，，有.即，，.因此.3.若，计算.12解：设为有理数，，则.5.设，都是上的可积函数，试证明：也是上可积函数.证明：（1）先证：设与都是上的可测函数且，