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1、第四章 可 测 函 数§4.1.可测函数及其性质定义4.1.1．设,A)是可测空间，A是代数，A，函数．若，有A，称为E上的（A）可测函数．如：常值函数是E上的可测函数．定理4.1.1．设,A)是可测空间，A，函数．则以下四命题等价．(1)A； (2)A；(3)A；(4)A．证：(1)(2)(3)见书上．(3)(4)．A．(4)(1)．A．定理4.1.2．设,A)是可测空间，函数．那么：(1)集族A}是上的代数．(2)若在X上可测，则包含中的全体开集．因此，在X上可测开集，有A．(3)若在X上可测，则包含中的Borel集全体B．(4)若g在上Borel可测，在X
2、上可测，则在X上可测．证：(1)首先，由A，故．若，则A，即；若，则A，即，是代数．(2)对于，有，由Th4.1.1，知．而中开集均为至多可数个形如及区间的并集．由(1)得(2)．(3)B是由生成的代数，而是包含的代数，(3)成立．(4)B；由(3)，A，据(2)，在X上可测．推论1．设是拓扑空间，A为X上的代数，且A，若连续，则在X上A可测． (书上错)如：取，则一切连续函数均为R上的Lebesgue可测函数；上的连续函数均为E上的Lebesgue可测函数．推论2．R上的严格单调函数均为R上的Lebesgue可测函数；上的单调函数均为E上的Lebesgue可测函数．证：若↗，
3、则；若↘，则．引理1．(1)若在A上可测，则在E的任一可测子集上可测；(2)若在A上可测，则在上可测．引理2．设和g在A上可测，则A．证：记有理数集，有A．定理4.1.3．设和g在A上可测，记，则下列函数是E上的可测函数．(1)； (2)；(3)；(4)；(5)．证：(1)A知，在E上可测． 若，则在E上可测．若，则A；若，则利用引理1(2)，在E上可测．若，则在E上可测．(2),(3),(4)证略．(5)，应用(4)及Th4.1.2(4)即可得(5)．定理4.1.4．设是A上的可测函数列，则，，，均为E上的可测函数．证：，由于A；A；，．可得以上四个函数均在E上
4、可测．推论1．在A上可测正部及负部均在E上可测．推论2．在A上收敛的可测函数列的极限函数在E上可测．简单函数：A，A且两两不交，，，，称为E上的简单函数．定理4.1.5．设是A上的可测函数，则存在E上的简单函数列满足，↗．证：先设．令，，．易知，为E上非减的非负简单函数列．下证↗．若，则，于是↗． 若时，，使．此时，于是，．从而↗．若是E上的一般可测函数，则．由已证结论，存在E上非减的非负简单函数列与，使↗↗．令，则为简单函数，且．于是有↗，．推论1．若是A上的有界可测函数，则存在一致有界的简单函数列在E上一致收敛于．推论2．是A上的可测函数可表示为E上的简单函数列的极限．§4
5、.2.可测函数列几乎处处a.e.：设,A,是测度空间，A为代数，．存在零测集，命题P或条件P在上成立，则称P在E上a.e.成立．如：．若，称在E上a.e.有限，记“，a.e.于E”；．若，记“，a.e.于E”；．若，记“，a.e.于E”．依测度收敛：设A，是E上的可测函数，，有，称在E上依测度收敛于，记或．定理4.2.1．设,A,是测度空间，是A上的可测函数列，若于E，则存在E上的可测函数，使于E．证：存在零测集，使，．令，则在E上可测，且于E．推论．若,A,是完备的测度空间，则A上的可测函数列的a.e.收敛的极限函数必是E上的可测函数．证：记A，A．A．则A．定理4.2.2．
6、设,A,是测度空间，是A上的可测函数，且，，则于E．证：由，可知，．故，令，得，．而，知．引理．设，，为有限函数，则，有．证：，使，即．从而．说明．故．从而(上限集为，极限存在)．定理4.2.3．(Lebesgue定理)设,A,是测度空间，A，．是E上的可测函数列，于E，a.e.有限，则于E．证：记，A，．在上取值有限，且，有．据引理有．于是，．从而．定理4.2.4．(叶果洛夫定理)设,A,是测度空间，A，．可测函数列在E上a.e.收敛于a.e.有限的函数．则，A，使上一致收敛于．(称在E上近一致收敛于，记为于E．)证：记，则A，．，且在上取值有限，由引理知，．，使．从而．令，
7、则A即为所求．事实上，．．对于此，，使得有，即．说明在上一致收敛于．定理4.2.5．(Riesz定理，匈牙利)设,A,是测度空间，A，在E上可测，于E．则存在子列在E上a.e.收敛于．证：使．注意到， 由Th3.2.1(10)得．记，．则，易知在上收敛于．事实上，时有，即． 关于Lebesgue定理、叶果洛夫定理的4个注记见书上(简说)．§43.可测函数与连续函数的关系定理4.3.1．(鲁金第一定理，前苏联)设为可测集E上的a.e.有限的可测函数，则，存在闭集，满足且(限制)是有限值的连续
