可测函数列收敛性.doc

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1、可测函数列的收敛性以下设是上几乎处处有限的可测函数.2.4.1定义(1)若，有，则称在上一致收敛于，记作.(2)若可测集，使，在上，则称在上几乎一致收敛于，记作(3)若有，则称在上依测度收敛于(简称测度收敛于)，记作.显然可知由定义一致收敛几乎一致收敛.一致收敛处处收敛几乎处处收敛.2.4.2定理(1)若，则反之，若，则(后者称为“Egorov”定理)(2)若，则.反之，若，则有一子列几乎一致收敛于(后者称为“Riesz”定理)(3)若，则有一子列几乎处处收敛.反之，若则.证明显然(1)+(2)(3).由定义易知:下面证明Egorov定理:若则Riesz定理:若，则有一子

2、列几乎一致收敛于.以下设无意义}，显然无意义}是一零测集.(1)首先证明Egorov定理:设证明 ，从而，故对每个有.是一降列且由上连续性得.任意取定，由数列极限定义，对每个，可取出使令，则.由的定义，当时，对即，故在上，，从而(2)然后证明Riesz定理:若，则有一子列几乎一致收敛于.设，则由定义，由数列极限的定义，可取出使.下面证明任意取定收敛，可取使令，则.由的定义，当时，即，故在上，从而例1设，则在上（处处收敛于0）.但在上非一致收敛于0，.对在，上显然0，因而例1说明一致收敛处处收敛，但处处收敛一致收敛一致收敛几乎一致收敛，但几乎一致收敛一致收敛，当时，几乎一致

3、收敛几乎处处收敛例2设，则在上（处处收敛于0）.不可能有，由Th2.4.2(2)，更不可能有例2说明Th2.4.2中(1)，(3)的条件“”不能去掉.例3设令令.易知由定义对.从而所以故.对使从而故在上处处不收敛于0，当然在上不是几乎处处收敛于0.例3说明“测度收敛”可能远远弱于“几乎处处收敛”，即例4设，则证明由Th2.4.2(3)，有几乎处处收敛的子列，不妨设有几乎处处收敛的子列使显然.例4的推论:若，则而且.从而即在几乎处处相等的意义下，测度收敛序列的极限函数是惟一的.例5设则.证明反证法若不是测度收敛于，则有使得，由Th2.4.2(3，)有子列由Th2.4.2(3

4、，)有子列几乎处处收敛于，不妨设于是由使得从而由Th2.4.2(3，)这与矛盾.已知可用简单函数逼近可测函数，下面利用Th2.4.2用连续函数逼近可测函数.2.4.3引理设是一非空闭集，，则存在，使得且.2.4.4Luzin定理设为可测集，是上几乎处处有限的可测函数，则有:1.使而且2.存在序列，使在上证明任意取定.(1)首先设为上的简单函数，是互不相交的可测集，而且.取闭集使令，则为闭集，，而且.在每个上是常数，从而连续，而且，互不相交，连续(2)设为上一般的可测函数，.由Th2.3.6，有序列.由(1)段所证，对，有闭集连续.令，则为闭集，且.且每个连续，由Th2.4

5、.2(1)在上几乎一致收敛，即存在闭集，且在上，易知连续(类似数分证明).而且.(3)设为上一般的可测函数，，互不相交，，由(2)段所证，对，有闭集连续.显然互不相交.令，易知为闭集且连续.而且(4)  设为上一般的可测函数，由(2)，(3)段所证，有闭集，使而且连续.由lema2.4.3知有使且，而且.(5)由已证的结论1，使得.令，由上连续性，则故.显然，而且在上故2.4.5推论设是可测集上几乎处处有限的实函数(均指广义实函数)，则在上可测的充要条件是存在序列使得.注意:由Th2.4.4可测使于当然.