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1、函数列及其一致收敛性设（1）是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列．(1)也可简单地写作：或，设，以代人(1)可得数列（2）若数列(2)收敛，则称函数列(1)在点收敛，称为函数列(1)的收敛点．若数列(2)发散，则称函数列(1)在点发散．若函数列(1)在数集D上每一点都收敛，则称(1)在数集D上收敛．这时D上每一点，都有数列的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列(1)的极限函数．若把此极限函数记作，则有或,函数列极限的定义是：对每一固定的任给正数，恒存在正数N(注意：一般说来N值的
2、确定与和的值都有关，所以也用表示它们之间的依赖关系)，使得当n>N时，总有使函数列收敛的全体收敛点集合，称为函数列的收敛域．例1设为定义在上的函数列，证明它的收敛域是(—1，1]，且有极限函数（3）证任给(不妨设)，当时，由于只要取当时，就有当和时，则对任何正整数，都有这就证得在上收敛，且有(3)式所表示的极限函数．当时，则有，当时，对应的数列为它显然是发散的．所以函数列叫区间外都是发散的．例2定义在上的函数列由于对任何实数，都有故对任给的，只要就有所以函数列的收敛域为无限区间，极限函数对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收
3、敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质．比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D上的收敛是不够的，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题．定义1设函数列与函数定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切都有则称函数列在D上一致收敛于，记作由定义看到，如果函数列在D上一致收敛，那么对于所给的，不管D上哪一点，总存在公共的(即N的选取仅与
4、有关，与的取值无关)，只要n>N，都有由此看到函数列在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛．反之，在D上每一点都收敛的函数列，在D上不一定一致收敛．如上述例2中函数列，对任给正数，不管取上什么值，都可取（它仅依赖于的值），当n>N时，恒有所以函数列，在上一致收敛于函数．函数列在D上不一致收敛于函数，是指它们不满足定义1的条件．但也可以根据定义1对不一致收敛给予正面的陈述．即函数列(1)在D上不一致收敛于的充要条件是：存在某正数，对任何正数N，都有D上某一点与正整数（注意：与的取值与有关），使得从前面例1中知道，函数列在(0，1)
5、上收敛于。我们证明它在(0，1)上不一致收敛。事实上，令，对任何正数取正整数及则有函数列(1)一致收敛于,从几何意义上讲：对任何正数，存在正整数N，对于一切序号大于N的曲线，都落在以曲线与为边(即以曲线为“中心线”，宽度为)的带形区域内(如图13—1所示)．函数列在区间(0，1)内不一致收敛，从几何意义上讲：存在某个事先给定的，无论N多么大，总有曲线不能全部地落在以与为边的带形区域内，如图13—2所示，若函数列只限于在区间内讨论，容易看到，只要，曲线就全部落在以和为上下边的带形区域内．所以在内是一致收敛的．定理13．1(函数列
6、一致收敛的柯西准则)函数列在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数，总存在正数N，使得当时，对一切，都有(4)证[必要性]设,即对任给存在正数N,使得当时,对一切,都有(5)于是当,由(5)就有,+[充分性]若条件(4)成立,由数列收剑的柯西准则,在D上任一点都收敛,记其极限函数为,.现固定(4)式中的,让,于是当时,对一切都有由定义1,，根据一致收敛定义可推出下述定理:定理13.2函数列在区间D上一致收敛于充要条件是: (6)证[必要性]若，,则对任给的正数,存在不依赖于的正整数N,当时,有由上确界的定义,亦有这就证得(6
7、)式成立.[充分性]由假设,对任给,存在正整数N,使得当时,有(7)因为对一切x∈D,总有∣
8、≤∣∣故由式得∣
9、<于是{}在D上一致收敛于.在判断函数列是否一致收敛上定理13.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数),如例2,由于
10、∣==0,所以在(–∞+∞)上,0例3定义在上的函数列(8)其中的图象如图示13－3所示.由于，故f。当时，只要，就有，故在上有=0于是函数列（8）在上的极限函数.又由于所以函数列（8）在上不一致收敛.□
