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1、函数列的几种收敛性王佩（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要:讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题.关键词：函数列；收敛；SeveralkindsofconvergenceforthesequenceoffuncationsWangpei(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)Abstrac
2、t:Thisarticlediscussesandsummarizestherelationshipbetweentheconvergence,uniformconvergence,everywhereconvergence,almosteverywhereconvergence,almosteverywhereuniformconvergence,convergenceinmeasure,nearlyconvergence,nearlyuniformconvergenceandstrongconvergenceforthesequenceoffunca
3、tions.Keywords:thesequenceoffuncations;convergence;一、几种收敛的定义1、收敛的定义定义1：设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数N，使得当n>N时有,则称数列收敛于a，定数a称为数列的极限，并记作,或.定义2：设f为定义在上的函数，A为定数.若对任给的0，存在正数M（a），使得当x>M时有
4、f(x)-A
5、<,则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作f(x)=A或f(x)→A(x→+∞).用c.表示.2、一致收敛的定义设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一数集E上，若对任意的ε>0,总存在
6、自然数N，使得当n>N时，对一切x∈E都有
7、fn(x)-f(x)
8、<ε,则称函数列{fn(x)}在E上一致收敛于f(x)，记作fn(x)→f(x)，（n→∞）x∈E.用u.c.表示.3、几乎处处收敛的定义设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn(x)→f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处收敛于f(x)，记作fn(x)=f(x)a.e.于E，或fn→fa.e.于E.用a.c.表示.4、几乎处处一致收敛设函数列{fn(x)}与函数f(x)定义在同一可测集E上，
9、若函数列{fn(x)}在E上满足mE（fn(x)f(x)）=0，（其中“”表示不一致收敛于），则称{fn(x)}在E上几乎处处一致收敛于f(x)，记作fn(x)=f(x)a.e.于E，或fnfa.e.于E.用a.u.c.表示.5、依测度收敛设函数列{fn(x)}是可测集E上一列a.e.有限的可测函数，若有E上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系：对任意σ>0有mE[
10、fn-f
11、≥σ]=0，则称函数列{fn}依测度收敛于f,或度量收敛于f记为：fn(x)f(x).6、近乎收敛若>0,EσE,使得mEσ<,且fn(x)f(x)(在E-Eσ上)，则称
12、函数列{fn(x)}在E上近乎收敛于函数f(x)，记为fn(x)f(x)或简记为fnf.用n.c.表示.7、近乎一致收敛若>0,EσE,使得mEσ<,，且fn(x)f(x)在E-Eσ上），则称函数列{fn(x)}在E上近乎一致于函数f(x)，记为fn(x)f(x)或fnf.用n.u.c.表示.8、强收敛设fn(x)，f(x)属于Lp,若fn(x)，f(x)得距离敛于0（当n→+∞）,则称fn(x)强收敛于f(x),简记为：fnf.二、几中收敛的关系1一致收敛与处处收敛、几乎处处收敛的关系若{fn(x)}在E上一致收敛，则在E上逐点收敛，即处处收敛，处处收
13、敛一定几乎处处收敛.但几乎处处收敛不一定处处收敛，处处收敛也不一定一致收敛.2处处收敛、几乎处处收敛与依测度收敛的关系2.1依测度收敛不论是在有限可测集上，还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛.例1依测度收敛而处处不收敛的函数.取E=,将E等分，定义两个函数：f（1）1(x)=f（1）2(x)=然后将四等分、八等分等等.一般地，对每个n,作2n个函数：f（n）j(x)=j=1,2,…,2n.把{f（n）j，j=1,2,…,2n.}先按n后按j的顺序逐个地排成一列：f（1）1(x)，f（1）2(x)，…，f（n）1(x)，f（n）2(x)，
14、…，f（n）2n(x),…(1)f（n）j(x)在这个序列中是第N=2n-2+j
