数列极限的几种求法

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1、数列极限的几种求法数学组周彬摘要:数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本文就着重介绍数列极限的一些求法。关键词:数列,极限,收敛SeveralkindsoflawsofaskingofseverallinesoflimitshuxuezuZhouBinAbstract:Severallimittheoryfoundationofcalculus,itrunthroughoninfinite

2、simalcalculusallthetime,itisainfinitesimalcalculusimportantresearchapproach.Severallinesoflimitareimportantcomponentsofthelimittheory,andseverallinesoflimitoneasksthelawtoadoptthelawofdefining,insertthemethodonbothsides,havecirclelawsdully,constructthesincereformulalawnow,,etc

3、..Thistextrecommendssomeofseverallinesoflimittoaskthelawemphatically.Keyword:Several,limit,disappear以下介绍数列极限的求法:一、定义法:数列极限的定义如下:设{}是一个数列,若存在确定的数a,对>0N>0使当n>N时,都有<则称数列{}收敛于a,记为=a,否则称数列{}不收敛(或称数列{}发散)。故可从最原始的定义出发计算数列极限。例1、用-N方法求解:令=t+1则t>0n+1=>0取则当时,有=1二、单调有界法:首先我们介绍单调有界定理,其内容如下

4、:在实数系中,有界的单调数列必有极限。证明:不妨设{}为有上界的递增数列。由确界原理,数列{}有上界,记为{}。以下证明a就是{}的极限。事实上,>0,按上确界的定义,存在数列{}中某一项,使得又由{}的递增性,当时有,这就证得。同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界。例2、证明数列收敛,并求其极限。证:,易见数列{}是递增的。现用数学归纳法来证明{}有上界。显然。假设,则有,从而对一切n有,即{}有上界。由单调有界定理,数列{}有极限,记为a。由于,对上式两边取极限得,即有(a+1)(a-2)=0,解得a=-1或a=2由数列极限

5、的保不等式性,a=-1是不可能的,故有三、运用两边夹法:迫敛法:(两边夹法)设收敛数列{},都以a为极限,数列满足:存在正数当时有(1)则数列收敛且证:由分别存在正数与使得当时有(2)当时有(3)取则当时不等式(1),(2),(3)同时成立即有从而有即证所得结果。例3、求解:(1)=1由(1)式及两边夹法则=1。四、先求和再求极限:例4、求极限解:五、先用放缩法再求极限:例5、求极限解:记则又由两边夹法则=六、用施笃兹公式:首先我们介绍并证明施笃兹公式:施笃兹公式(stolz):设数列{}单调递增趋向于,(1)(可以为无穷)则例6、设求:解:由施笃

6、兹公式以上介绍了数列极限的一般求法,本文的目的不在于只列举几个例题,而在于寻求一些常见的数列极限的求法,可能方法不够全面,在此只希望能起抛砖引玉的作用,以供大家探讨。参考文献:1.华东师范大学数学系编,数学分析(上,下),高等教育出版社,20012.复旦大学数学系编,数学分析(上,下),高等教育出版社,19853.钱吉林等主编,数学分析题解精粹,崇文书局,20034.B.吉米多维奇,数学习题集,李荣冻译,人民教育出版社,1978

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